Рис. 1.19. К формуле Стокса
Для электростатического поля, согласно (1.18),
(1.18)
что ввиду произвольности выбора поверхности позволяет получить из (1.51):
(1.52)
Если (1.18) – интегральная формулировка потенциальности электростатического поля, то (1.52) выражает то же условие в дифференциальной форме. Применение (1.52) при проверке потенциальности поля может оказаться более удобным, чем применение (1.18).
Приведем другой пример использования понятия ротора - для упрощения выражения
(1.50)
силы, действующей на диполь в неоднородном поле.
Пусть дипольный момент - постоянный, то есть . Используем векторное тождество
в котором положим , , и . Получим
В силу потенциальности электростатического поля
,
отсюда
и
Пусть двусторонняя и кусочно-гладкая поверхность , замкнутая или незамкнутая, помещена в векторное поле (см. рис. 1.20). Рассмотрим ее элемент , - единичная нормаль к площадке элемента .
Определение. Потоком векторного поля через элемент называется величина , где - проекция вектора на направление нормали , и - вектор элемента площади, .
|
|
Имеем: , если векторы и образуют острый угол, , если векторы и образуют тупой угол, и , если .
Рис. 1.20. Поток векторного поля через поверхность
Определение. Потоком векторного поля через всю поверхность называется поверхностный интеграл
(1.53)
В наиболее простом случае векторные линии поля пересекают поверхность лишь один раз. Тогда величина потока через поверхность пропорциональна числу векторных линий поля, пересекающих ее.
Выразим поток напряженности поля заряда через сферу, в центре которой находится заряд (см. рис. 1.21):
так как .
Силовые линии электрического поля в области, где нет зарядов, непрерывны. Число линий напряженности, пересекающих сферу и произвольную поверхность , охватывающую заряд , одинаково. Поэтому поток поля через сферу равен потоку того же поля через поверхность . Заряд системы зарядов , находящихся в объеме , ограниченным поверхностью , создает поток через поверхность . В соответствии с принципом суперпозиции поток поля системы зарядов через поверхность равен алгебраической сумме потоков полей отдельных зарядов системы в объеме , ограниченном поверхностью :
(1.54)
где - заряд системы, , , , .
Для непрерывной модели распределения зарядов с объемной плотностью заряд в объеме равен , что и следует учитывать при использовании формулы (1.54).
Рис. 1.21. К теореме Гаусса, ,
для замкнутой поверхности единичная нормаль выбирается внешней
Формула (1.54) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в интегральной форме:
|
|
Поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен электрическому заряду в объеме, ограниченном этой поверхностью, деленному на .
Выводы:
1) Теорема Гаусса выражает связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и зарядом в объеме, ограниченном этой поверхностью.
2) Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона. Иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.
Теорема Гаусса позволяет найти полный заряд в объеме посредством измерения потока напряженности через поверхность, ограничивающую объем. Другие способы определения заряда не дают удовлетворительного результата. Применению других методовпрепятствует то, что закон распределения измеряемого заряда в объеме заранее не известен. Исключение составляет метод, когда измеряемый заряд помещается в однородное электрическое поле напряженностью . Измерив силу , действующую на заряд со стороны поля, можно найти искомый заряд .