В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования .
I. Зависимость Δ(X) и σ(X) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)
Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора
(в единицах выходной величины
) может возникать:
– во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины
(например, шумы или наводки);
– во-вторых, из-за наличия аналогичной величины
на выходе прибора — например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала
(входной сигнал
обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);
– в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности
Причем ,
,
. С учетом этих факторов значение
на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения
на величину
:
(1)
(В (1) слагаемым , имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли). Из (1) следует, что результат измерения
величины
может быть представлен в виде
(2)
Здесь — абсолютная погрешность измерения, выраженная, как и полагается, в единицах
, и состоящая из двух слагаемых: первое из них
называется аддитивной погрешностью (от add – прибавлять) поскольку она, как видим, суммируется с
и не зависит от него. Второе слагаемое
называется мультипликативной погрешностью (от multiply – умножать), так как оно определяется умножением измеряемого значения на относительную погрешность чувствительности
(3)
Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения
(4)
![]() |
в общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая — пропорциональна ей (рис 1а). При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza3/381748780726.files/image010.png)
Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность
, может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность
, характеризующая, как известно, точность измерения, равна
, (5)
Из (5) следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде
, ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности
, которая не зависит от значения измеряемой величины
, а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной
(рис. 1б).
Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.
На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или
со знаком
.
Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:
, (6)
где первое слагаемое — аддитивная, а вторая — мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:
, (7)
где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.
С учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину
следует считать связанной с входной величиной
соотношением
, где
увеличивается с ростом
из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости
в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной
(рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении
.
Поскольку минимальная ширина этой полосы равна , ясно, что значение измеряемой величины
прибор не сможет достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является
. Это значение, определяемое аддитивной погрешностью, называется порог чувствительности данного прибора.
II. Зависимость погрешности от измеряемой величины при нелинейной функции преобразования вида Y = a / (b + X)
Нетрудно выяснить, что преобразование такого вида выполняется в простейшем омметре со стрелочным указателем — микроамперметром (рис 3а). Измеряемой величиной является , а выходной — ток
:
(8)
Из (8) видно, что, во-первых, шкала такого прибора нелинейна, т. е. неравномерна. Во-вторых, входная и выходная величины находятся в обратной зависимости — большему значению соответствует меньший ток
(рис 3б). Начало шкалы прибора, соответствующее
должно соответствовать максимальному току указателя
, а конец шкалы при
должен соответствовать нулю тока. Обычно перед измерением проверяют правильность градуировки шкалы: при разомкнутом входе (
) убеждаются, что стрелка находится на крайнем левом делении, а при короткозамкнутом входе (
и
) — на крайнем правом. При необходимости последнее условие выполняют изменяя
.
Считая, что погрешность измерения
определяется погрешностью измерения тока
, продифференцируем
по
:
(9)
Отсюда
(10)
Знак минус в (10) отражает обратную зависимость и
. Но поскольку погрешность обычно указывается с двойным знаком
, этот минус в дальнейшем не будем учитывать.
Выразим относительную погрешность измерения:
(11)
Из (11) видно, что при
стремящемся к 0 и к
. Это значит, что есть
, при котором
будет минимальна. Известно, что для нахождения координат минимума зависимости
необходимо приравнять нулю производную
по
:
Откуда следует, что при
(рис 3в). Подставив это значение
в (11), найдем
(12)
где есть приведенная погрешность микроамперметра, характеризующая его класс точности.
Сам по себе стрелочный указатель имеет линейную функцию преобразования (
— угол отклонения стрелки) и, следовательно, равномерную шкалу по току
. Отсюда следует, что если
, а значит
минимальна и
, то стрелка будет находиться посредине шкалы (рис 3б).
Итак, во-первых, при рассмотренном виде нелинейного преобразования минимум относительной погрешности находится в середине шкалы. Значит надо соответствующим образом выбирать диапазон шкалы . Во-вторых, из (12) следует, что этот минимум в 4 раза больше приведенной (минимальной) погрешности указателя (см (12)).