Рис. 1.19. К формуле Стокса
Поверхность опирается на контур . Для постоянного тока величина интеграла в (6.15) не зависит от выбора формы поверхности в силу закона сохранения электрического заряда.
Подставим (6.15) в (6.14), найдем
(6.16)
Из теории электромагнетизма следует, что формула (6.16) остается справедливой не только в случае прямолинейного тока, но и для произвольного распределения плотности постоянного тока на поверхности .
Пусть имеется система токов, распределенных в пространстве с плотностями , . Обозначим - индукция магнитного поля, созданного ым током. По принципу суперпозиции, индукция результирующего поля , а плотность результирующего тока . Применяя формулу (6.16) для ого тока, имеем:
(6.17)
где - сила тока ой компоненты через поверхность ,
(6.18)
Алгебраически суммируя равенства (6.17) по от до , получим
(6.19)
где сила полного тока через поверхность , равная .
Равенство (6.19) выражает формулу полного тока в интегральной форме.
Применим формулу Стокса для магнитного поля: поток вихря векторного поля через кусочно-гладкую поверхность , ограниченную замкнутым контуром , равен циркуляции вектора по этому контуру.
|
|
(6.20)
Подставим (6.16) в (6.20), найдем
откуда в силу произвольности выбора поверхности следует
(6.21)
Равенство (6.21) выражает формулу полного тока в дифференциальной форме. Из (6.21) следует, что в области, где нет токов () имеем: . Аналогично условию для электростатического поля равенство выражает условие потенциальности постоянного магнитного поля в области, где нет токов.
Применим формулу полного тока (6.19) для расчета магнитного поля внутри тороидальной катушки, показанной на рис. 6.7. По виткам катушки течет постоянный ток силой . Пунктирная окружность радиуса , имеющая общий центр с катушкой, соответствует одной линий индукции магнитного поля катушки. Внутренний радиус катушки , а внешний - . В силу симметрии катушки индукция магнитного поля постоянна по величине вдоль пунктирной окружности. Значит циркуляция индукции вдоль этой линии индукции . Та же окружность охватывает ток силой , где - число витков катушки. По формуле полного тока имеем: . Значит, индукция магнитного поля тороидальной катушки на расстоянии от ее центра равна
Рис. 6.7. Тороидальная катушка
Будем неограниченно увеличивать радиус тороида. Тогда отношение , и поле стремится к однородному. Любой отрезок тороида стремится по форме к прямолинейной катушке – соленоиду. Заметим, что - число витков на единицу длины соленоида, что дает выражение индукции магнитного поля соленоида:
Пусть постоянный ток создается направленным движением свободных зарядов. Обозначим - заряд одного носителя тока, - концентрация носителей тока, - скорость направленного движения носителя тока. Выразим элемент тока
|
|
(6.22)
Подставим (6.22) в формулу (6.4), выражающую индукцию магнитного поля, созданного элементом тока, найдем
(6.23)
В объеме находится частиц. Индукция магнитного поля, созданного одним движущимся зарядом, равна , то есть
(6.24)
Формула (6.24) показывает, что, как и магнитное поле прямого провода с током, поле движущегося заряда обладает осевой симметрией (относительно направления скорости движения заряда).