Рассматривается система (1)
Теорема 1:
Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:
1) , причём
лишь при
,
.
2) , при
, то точка покоя
системы (1) устойчива.
Производная в условии 2) взята вдоль интегральных кривых системы (1).
Доказательство:
Поверхности уровня в окрестности точки покоя, которая является точкой строгого минимума, являются замкнутыми и окружают точку покоя.
Рассмотрим поверхность уровня , которая целиком лежит в
окрестности, т.е.
, но не проходит через начало координат. Выберем
окрестность так, чтобы
окрестность целиком лежала внутри поверхности
. Если начальная точка с координатами
,
находилась в
окрестности, то
, то при
точка траектории, которая проходит через точку
не выйдет за пределы
окрестности начала координат в силу условия 2) теоремы.
Теорема 2: (т. Ляпунова для ассимптотичной устойчивости)
Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая следующим условиям:
1) имеет строгий минимум в начале координат
.
2) производная функция , вычисляемая вдоль интегральных кривых системы (1):
, причём вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при
,
производная
, где
постоянная, то точка покоя
,
системы (1) асимптотически устойчива.
Доказательство:
Условия теоремы выполнены, то если можно выбрать
, что траектория, начальная точка которой не выйдет из
окрестности начала координат.
Вдоль траектории функция монотонно убывает с возрастанием
. Следовательно, существует
Надо показать, что . Откуда будет следовать, что
,
.
Первое условие теоремы только в начале координат.
Допустим, что .
Тогда возьмём за
окрестность, но здесь
, проинтегрируем это неравенство от
до
:
или
При достаточно большом правая часть отрицательна и, следовательно,
, что противоречит условию 1).
Пример 1:
,
1) ,
2)
Решение ,
асимптотически устойчиво.
Пример 2:
,
1) ,
2)
Решение ,
асимптотически устойчиво.
Исследование проблемы устойчивости по первому приближению.
При исследовании на устойчивость точки покоя ,
системы
(1), где
дифференцируемая окрестности начала координат функция.
Применяется следующий метод:
Систему (1) представляют в окрестности начала координат:
,
(2)
Система ,
(3)
Называется системой первого приближения для системы (1).
Теорема 3:
Если система (2) стационарна в первом приближении, все числа ,
в достаточно малой окрестности начала координат при
удовлетворяют неравенствам:
, где
и
постоянные.
и все корни характеристического уравнения:
(4)
имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение,
системы (1) асимптотически устойчиво.
Теорема 4:
Если система (2) стационарна в первом приближении, все функции ,
удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную действительную часть, то точка покоя
,
системы (2) неустойчива.
В критическом случае, когда действительная часть и хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость начинают влиять нелинейные члены и исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.
Пример 1:
Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 3. и 4. Исследуем на устойчивость точку покоя ,
.
,
,
Решение ,
неустойчиво.
Пример 2:
Разлагая по формулам Тейлора, получим:
,
,
где удовлетворяют теоремам 4. и 5.
,
Решение ,
асимптотически устойчиво.