Гипербола и ее свойства

Конспект лекции 14.

Гипербола и парабола и их свойства. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.

Литература. § 20, 21.

Определение 1. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек и, принадлежащих той же плоскости, является постоянной величиной, меньшей расстояния между точками и.

Точки и,как и в случае эллипса, будем называть фокусами. Очевидно, следует предполагать, что фокусы не совпадают друг с другом. Пусть, а модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равен. Тогда, как следует из определения

. (17.1)

Из неравенств, связывающих стороны треугольника, следует, что не существует таких точек М, для которых. Заметим, что эта разность равна в том и только в том случае, когда М лежит на прямой, и не принадлежит отрезку между фокусами. Будем также предполагать, что a ¹ 0, иначе, точки, удовлетворяющие этому условию, образуют серединный перпендикуляр отрезка.

Выведем уравнение гиперболы. Как и в случае эллипса введем прямоугольную декартовую систему координат, которую также будем называть канонической, ось абсцисс которой содержит фокусы и, а ось ординат совпадает с серединным перпендикуляром отрезка (рис. 67). В этой системе координаты фокусов равны:. Точка в том и только в том случае лежат на гиперболе, когда ее координаты удовлетворяют уравнению:

. (17.2)

Упростим это уравнение. Раскроем модуль:, и «уединим» один из радикалов:. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

.

После упрощений получим:. Еще раз возведем обе части в квадрат:, или

.

В силу неравенства (17.1), поэтому существует число b, для которого

. (17.3)

Тогда. Разделив обе части этого равенства на, окончательно получим:

. (17.4)

Таким образом, координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (17.4). Покажем обратное. Возьмем произвольную точку, координаты которой являются решением этого уравнения. Пусть. Эти числа будем называть фокальными радиусами точки М. Нам следует показать, что. Из уравнения (17.4) следует, что

, (17.5)

. (17.6)

Так как, то, заменив в этом выражении у по формуле (17.6), получим:

= =

=

Из формулы (17.3) следует, что. Поэтому. Таким образом,

. (17.7)

Аналогично показывается, что

. (17.8)

Раскроем модули в полученных формулах. Пусть. Тогда, поэтому. Из неравенства (17.5) следует, что. Так как, то перемножая эти неравенства, получим:. Отсюда следует, что. Таким образом, и.

Пусть. Тогда и. Из неравенства (17.5) следует, что, перемножая его с неравенством, получим: или. Таким образом, и. И в первом и во втором случаях модуль разности фокальных радиусов постоянен и равен. Уравнение (17.4) является уравнением гиперболы. Оно носит название канонического.

Рассмотрим свойства гиперболы, которые позволят построить ее изображение. Вначале найдем ее точки пересечения с осями канонической системы координат. Пусть точка служит точкой пересечения гиперболы с осью абсцисс. Тогда из уравнения (17.4) следует, что, т.е. либо, либо. Гипербола пересекается с осью абсцисс в двух точках:. Она не пересекает оси ординат. Действительно, если точка лежит на гиперболе, то число удовлетворяет уравнению:, которое не имеет действительных корней. Точки и называются вершинами гиперболы, а числа а и b ‑ ее действительной и мнимой полуосями.

Если точка лежит на гиперболе, то, как следует из ее канонического уравнения, точки и также лежат на гиперболе. Отсюда следует, что гипербола симметрична, относительно осей и центрально симметрична относительно начала канонической системы координат. Поэтому достаточно построить точки гиперболы, лежащие в первой координатной четверти, а затем отразить их симметрично относительно осей и начала системы координат. Из формулы (17.6) следует, что в этой четверти гипербола совпадает с графиком функции. Средствами математического анализа доказывается, что при эта функция является непрерывной, гладкой и возрастающей. Кроме того, она имеет асимптоту. Как доказывается в курсе математического анализа, прямая тогда и только тогда служит асимптотой функции при, когда В данном случае

Таким образом, прямая ‑асимптота гиперболы в первой координатной четверти. Так как гипербола симметрична относительно координатных осей, то эта же прямая служит ее асимптотой в третьей четверти, а прямая ‑ ее асимптота во второй и четвертой четвертях. Гипербола изображена на рисунке 67.

Укажем способ построения точек гиперболы циркулем и линейкой. Пусть и ‑ ее фокусы, и - точки пересечения с осью абсцисс. Построим окружность a с центром в точке радиуса r. Затем увеличим раствор циркуля на длину отрезка и построим окружность b с центром в точке с радиусом. Ясно, что точки пересечения окружностей a и b лежат на гиперболе. Меняя радиус r можно построить любое число точек гиперболы (рис. 68).

Гипербола, так же, как и эллипс, обладает директориальным свойством.

Определение 2. Под эксцентриситетом гиперболы понимается число, равное:

. (17.9)

Из неравенства (17.1) следует, что для гиперболы (сравните, для эллипса эксцентриситет меньше единицы). Выясним, как меняется форма гиперболы, если ее эксцентриситет принимает значения от 1 до +.. Тогда из формулы (17.9) получим:. Пусть e ® 1, тогда a ® c. Как мы уже отмечали, в этом случае гипербола "сжимается", ее ветви приближаются к двум лучам оси абсцисс, начала которых лежат в ее фокусах. При a ® 0 ветви гиперболы "распрямляются" к серединному перпендикуляру отрезка, т.е. к оси ординат.

Определение 3. Прямые, определенные уравнениями:

(17.10)

называются директрисами гиперболы.

Считается, что директриса соответствует фокусу, а - фокусу. Так как, то. Поэтому директрисы пересекают ось абсцисс во внутренних точках отрезка, заключенного между вершинами гиперболы (рис. 69). Докажем директориальное свойство гиперболы.

Теорема. Гипербола представляет собой множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до директрисы, соответствующей этому фокусу, является постоянным числом, равным эксцентриситету.

Доказательство. Пусть дана гипербола. Будем предполагать, что на плоскости выбрана ее каноническая система координат. Рассмотрим точку, лежащую на гиперболе. Обозначим через и ее расстояния до директрис и. Из формулы для вычисления расстояния от точки до прямой (см. § 14) следует, что,. Найдем отношения и, где и ‑ фокальные радиусы точки М. Из равенств (17.7) - (17.9), получим: и. Поэтому.

Покажем обратное. Пусть отношение расстояния от некоторой точки М до фокуса гиперболы к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету. Проверим, что точка лежит на гиперболе. Доказательство проведем для фокуса и директрисы. Для вторых фокусов и директрисы рассуждения проводятся аналогично. Пусть даны координаты точки:. Тогда. Расстояние до директрисы равно:. Так как, то. Отсюда

,

=,

.

Так как (см. (17.3)), то, или. Точка М принадлежит гиперболе, теорема доказана.

Директориальные свойства эллипса и гиперболы позволяют иначе подойти к определению этих кривых. Из доказанных теорем следует, что если на плоскости даны прямая (директриса) и точка (фокус), которая не лежит на этой прямой, то множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы, равно постоянному числу, представляет собой эллипс, если это число меньше единицы, и гиперболу, если оно больше единицы. Ответ на вопрос, какой вид имеет это множество, если отношение равно единице, будет дан в следующем параграфе.

Ответим на вопрос, какой вид имеет множество точек, для каждой из которых отношении расстояния до точки к расстоянию до прямой, не содержащей эту точку, равно единице. Мы покажем, что такое множество точек хорошо известно из школьного курса алгебры, оно совпадает с параболой.

Определение 1. Множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки плоскости равно расстоянию до фиксированной прямой, не содержащей эту точку, называется параболой.

Точку и прямую, которые упомянуты в определении, будем называть соответственно фокусом и директрисой параболы. Будем также считать, что эксцентриситет параболы равен единице. Нетрудно выяснить, что представляет собой множество точек, удовлетворяющих определению 1, если фокус лежит на директрисе. Если F - фокус, d ‑ директриса, а М - точка множества, то в этом случае отрезок FM перпендикулярен d. Поэтому такое множество совпадает с прямой, проходящей через фокус перпендикулярной директрисе.

Выведем уравнение параболы. Для этого выберем прямоугольную декартовую систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус F и была перпендикулярна даректрисе d параболы, а ее начало О совпадало с серединой отрезка, заключенного между F и точкой Q пересечения оси абсцисс и директрисы. Направление оси абсцисс определяется вектором (рис. 71). Такую систему координат будем называть канонической. Обозначим через p длину отрезка FQ, Число р называется фокальным параметром параболы. Тогда в канонической системе координаты фокуса F и уравнение директрисы d имеет вид:,

Рассмотрим произвольную точку. расстояние р от М до F равно:. Длина перпендикуляра d, опущенного из M на директрису d, согласно формуле для вычисления расстояния от точки до прямой (см § 14), имеет вид:. Поэтому из определения 1 следует, что точка М в том и только в том случае лежит на параболе, когда

. (18.1)

Уравнение (18.1) представляет собой уравнение параболы. Нам необходимо его упростить. Для этого возведем обе части в квадрат:

. (18.2)

Отсюда следует, что

. (18.3)

После приведения подобных членов, получим:

. (18.4)

Таким образом, если точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (18.4). Нетрудно убедиться в обратном. Если координаты точки М служат решением уравнения (18.4), то они удовлетворяют уравнениям (18.3) и (18.2). Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (18.2), получим, что координаты точки М удовлетворяют (18.1). Точка лежит на параболе.

Уравнение (18.4) носит название канонического уравнения параболы. Отметим ее свойства. Начало О канонической системы координат лежит на параболе, так как ‑ решение уравнения (18.4). Она называется ее вершиной. Парабола симметрична относительно оси абсцисс и не симметрична относительно оси ординат канонической системы. Действительно, если координаты точки удовлетворяют уравнению (18.4), то координаты точки также удовлетворяют уравнению (18.4), а координаты точки не являются решением этого уравнения. Таким образом, для построения параболы достаточно изобразить график степенной функции, а затем отобразить его симметрично относительно оси абсцисс. Средствами математического анализа доказывается, что она непрерывная, гладкая и бесконечно возрастающая функция. Парабола изображена на рисунке 71.

Рассмотрим способ построения точек параболы. Пусть F - ее фокус, а d - директриса. Проведем ось симметрии параболы, т.е. прямую l, содержащую F и перпендикулярную d. Затем построим несколько прямых перпендикулярных оси. На каждой прямой определим две точки пересечения с окружностью, центр которой находится в фокусе F, а радиус равен расстоянию между этой прямой и директрисой (см. рис. 72). Ясно, что эти точки лежат на параболе.

Пусть кривая g представляет собой эллипс, одну ветвь гиперболы, либо параболу. Пусть F - фокус, а d - директриса кривой g, соответствующая этому фокусу. При этом будем предполагать, что в случае гиперболы фокус и директриса выбраны так, что рассматриваемая ветвь кривой лежит в той же полуплоскости относительно d, что и фокус F. Будем также предполагать, что полюс полярной системы координат совпадает с F, a полярная ось l - лежит на оси симметрии и не пересекает директрису d (рис. 74). Восставим в точке F перпендикуляр к l, Р - точка его пересечения с γ. Обозначим через р длину отрезка FР. Число р будем называть фокальным параметром g.

Обозначим через r и j - полярные координаты точки М. Напомним, что в нашем случае, а j - ориентированный угол между полярной осью l и вектором. Обозначим через Q и N проекции точек Р и М на директрису d, а через К ‑ проекцию М на ось симметрии кривой g (см. рис. 74). Тогда, если R - точка пересечения директрисы d и оси симметрии l, то Так как проекция на l имеет вид:, а, то. Воспользуемся директориальным свойством кривой второго порядка. Если e - эксцентриситет g, то. Поэтому, а. Таким образом,. Помножив это соотношение на e и выделив r, окончательно получим:

. (18.6)

Уравнение (18.6) называется полярным уравнением кривой второго порядка g.

Пусть e < 1. Тогда g представляет собой эллипс. В этом случае для любого j:. Так как полярный радиус всегда положителен, то для любого угла φ существует значение, ρ определяемое формулой (18.6), для которого точка M (r; j) лежит на эллипсе. Любой луч с началом в полюсе полярной системы координат пересекает эллипс (рис. 75). Если e = 1, то g представляет собой - параболу. В этом случае для любого j:, причем при j = 0. Таким образом, в уравнении (18.6) j принимает все значения на полуинтервале (- p; p], за исключением 0. Любой луч с началом в фокусе F, за исключением полярной оси, пересекает параболу (рис. 76). Рассмотрим случай, когда e > 1. Тогда g представляет собой ветвь гиперболы. Как следует из уравнения (18.6), угол j удовлетворяет неравенству. Отсюда

. (18.7)

Решим это неравенство. Пусть. Так как, то. Воспользуемся формулами, выражающими эксцентриситет гиперболы через ее полуоси и расстояние между фокусами (см. § 17), получим:, т.е.. Нетрудно видеть, что j является решением неравенства (18.7) в том и только в том случае, когда,. Геометрически это означает, что если угол φ принадлежит отрезку [; ], то луч, составляющий угол j с полярной осью и с началом в фокусе F, не пересекает ветвь гиперболы. Отметим, что лучи, образующие с полярной осью углы, равные и, параллельны асимптотам гиперболы (рис. 77). Можно доказать, что если на плоскости введены обобщенные полярные координаты (см. § 9), то уравнение (18.6) в случае задает вторую ветвь гиперболы.