Рассмотрим наиболее известный и широко применяемый интерполяционный сплайн степени 3 дефекта 1. При этом будем исходить из предположения, что узлы сплайна
(14.8)
одновременно служат узлами интерполяции, т.е. в них известны значения функции , .
Определение. Кубическим сплайном дефекта 1,интерполирующим на отрезке данную функцию , называется функция
, (14.9)
где
, (14.10)
удовлетворяющая совокупности условий:
– (14.11)
условие интерполяции в узлах сплайна,
– (14.12)
двойная непрерывная дифференцируемость,
– (14.13)
краевые (граничные) условия.
Заметим, что граничные условия вида (14.13) называются естественными граничными условиями.
Определенный таким образом сплайн называют еще естественным или чертежным сплайном и связано это со следующим обстоятельством. Желая провести плавную линию через заданные точки плоскости, чертежники фиксировали в этих точках гибкую упругую рейку, тогда под влиянием упругих сил она принимала нужную форму, обеспечивающую минимум потенциальной энергии.
|
|
Для построения по данной функции интерполирующего ее сплайна (14.9) нужно найти его коэффициентов
Имеем:
из условий интерполяции (14.10) для функции
, при (14.14)
из условий гладкой стыковки звеньев сплайна (14.12)
, при (14.15)
из краевых условий (14.13)
(14.16)
Подставляя сюда выражения (14.9) для функций ,
и их производных
(14.17)
и
(14.18)
через коэффициенты при указанных значениях и, полагая для краткости
, (14.19)
можно получить систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов [ ].
Полученная система решается методом прогонки [ ].
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов.
Тогда и расчетные формулы для коэффициентов полинома [ ] принимают вид:
,
Для вычисляем
,
Полагаем и для вычисляем
Полагаем и с учетом получаем
,
В результате при значение можно заменить значением
с найденными значениями коэффициентов .
Достоинства кубической сплайн-интерполяции
· график построенной функции проходит через каждую точку массива;
· конструируемая функция сравнительно легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов равно );
· заданным массивом построенная функция определена однозначно;
· степень многочленов не зависит от числа узлов сетки и, следовательно, не изменяется при его увеличении;
· построенная функция имеет непрерывные первые и вторые производные;
· построенная функция обладает хорошими аппроксимационными свойствами.
К недостаткам кубических сплайнов является то, что они склонны осциллировать в окрестностях точки, существенно отличающейся от своих соседей.
|
|