Получаемая оценка представляет частный случай случайной переменной. Причина здесь в том, что сочетание значений в выборке случайно, поскольку
– случайная переменная и, следовательно, случайной величиной является и функция набора ее значений. Возьмем, например,
– оценку математического ожидания:
.
Выше мы показали, что величина в
-м наблюдении может быть разложена на две составляющие: постоянную часть
и чисто случайную составляющую
:
. (A.17)
Следовательно,
, (A.18)
где – выборочное среднее величин
.
Отсюда можно видеть, что , подобно
, имеет как фиксированную, так и чисто случайную составляющие. Ее фиксированная составляющая –
, то есть математическое ожидание
, а ее случайная составляющая –
, то есть среднее значение чисто случайной составляющей в выборке.
Функции плотности вероятности для и
показаны на одинаковых графиках (рис. A.6). Как показано на рисунке, величина
считается нормально распределенной. Можно видеть, что распределения, как
, так и
, симметричны относительно
– теоретического среднего. Разница между ними в том, что распределение
уже и выше. Величина
, вероятно, должна быть ближе к
, чем значение единичного наблюдения
, поскольку ее случайная составляющая
есть среднее от чисто случайных составляющих
в выборке, которые, по-видимому, «гасят» друг друга при расчете среднего. Далее теоретическая дисперсия величины
составляет лишь часть теоретической дисперсии
.