Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.
§ Если при умножении квадратных матриц и
в любом порядке получается единичная матрица (
), то матрица
называется обратной матрицей для квадратной матрицы
, а матрица
- обратная для матрицы
.
Обозначается обратная матрица , то есть
.
Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как . Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается
.
Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу
, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы
был не равен нулю.
Правило нахождения обратной матрицы
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1) Вычисляем определитель матрицы : если он не равен нулю, то обратная матрица существует:
;
если равен нулю, то обратной матрицы нет.
2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение
.
|
|
3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: .
4) Каждый элемент матрицы делим на определитель
:
Получаем матрицу, обратную данной.