Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка

Рассмотрим еще один тип ДУ, приводимых к простейшим уравнениям с разделяющимися переменными.

Пусть уравнение задано в виде: y′= . Рассмотрим способы приведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными. Возможны два случая.

Случай-1: определитель ≠0. Это значит, прямая l ₁: a ₁ x + b ₁ y + c ₁=0 и прямая l ₂: a ₂ x + b ₂ y + c ₂=0 пересекаются.

1). Применим преобразование переменных x и y: x = u +m; y = v +n, что определяет параллельный перенос системы координат XOY. Заметим: dx = du, dy = dv → y′= v′.

2). Получаем a ₁ x + b ₁ y + c ₁= a ₁ u + b ₁ v +(a ₁ m + b ₁ n + c ₁);

a ₂ x + b ₂ y + c ₂= a ₂ u + b ₂ v +(a ₂ m + b ₂ n + c ₂).

3). Выберем числа m и n, чтобы выполнялось: Это значит, что параллельный перенос производим в точку пересечения прямых и .

4). В результате получили уравнение: v′= =φ– однородное уравнение. После его интегрирования необходимо произвести замену переменных: и получить выражение решения заданного ДУ.

Случай-2: определитель =0. Это значит, прямая a ₁ x + b ₁ y + c ₁=0 и прямая a ₂ x + b ₂ y + c ₂=0 параллельны. В этом случае имеем: a ₂=λ a ₁ и b ₂=λ b ₁ и тогда = = φ(a ₁ x + b ₁ y). Дальнейшее решение выполняется с использованием замены , что сразу приводит к уравнению с разделяющимися переменными.