1. Для изображения регулярного в бесконечности.
Для того чтобы изображение было регулярно в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.
Определим понятие целой функцией экспоненциального типа. Итак, целая функция комплекснозначного переменного
называется целой функцией экспоненциального типа, если можно найти такие положительные числа
и
, чтобы для всех комплексных значений
выполняется неравенство
. (21.24)
Существует также лемма, которая доказывает, что для того чтобы степенной ряд
, (21.25)
изображал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых чисел и
выполнялись неравенства
. (21.26)
,
Необходимо отметить, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям экспоненциального типа, приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.
Приведенная лемма позволяет реализовать доказательную базу приведенного выше утверждения о том, что для того чтобы изображение было регулярно в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.
Необходимо отметить, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа. Из этого замечания заключаем, что с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функциями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равными в ней нулю.
2. Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности).
Предыдущим изложением показано, что если – какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и равная в ней нулю, и если ее разложение в виде
ряда Лорана в окрестности бесконечности, то выражение
(21.27)
будет оригиналом, имеющим изображение вида -.
3. Изображение бесселевых функций.
Функция Бесселя 1-го рода -го порядка, являющаяся первым частным решением уравнения Бесселя при
имеет вид:
или
.
Следовательно, можно утверждать, что функция является целой функцией экспоненциального типа вида -
, у которой
. Таким образом, изображение этой функции определяется формулой (1.29) -
. Поэтому изображение будет иметь вид:
, и окончательно получим
≒
.
При получим
≒
С другой стороны, биномиальное разложение правой части приводит изображение к виду
,
следовательно, получим
≒
.
Используя метод индукции можно записать изображение бесселевой функции при любом положительном n:
≒
(21.28)
Если изображение имеет вид
, то этому изображению соответствует оригинал вида:
≒
(21.29)
и при
≒
.
В таблице 21.1 приведены наиболее часто встречающиеся оригиналы функций и соответствующие им изображения.
Таблица 21.1.
Оригинал – ![]() | Изображение – ![]() | |
1. | ![]() ![]() | ![]() |
2. | ![]() ![]() | ![]() |
3. | ![]() | ![]() |
4. | ![]() | ![]() |
5. | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
6. | ![]() | ![]() |
7. | ![]() ![]() | ![]() |
8. | tn sin bt ![]() | ![]() |
9. | ![]() ![]() | ![]() |
10. | ![]() | ![]() |
11. | ![]() ![]() | ![]() |
12. | ![]() ![]() | ![]() |
13. | ![]() ![]() | ![]() |
14. | ![]() ![]() | ![]() |
15. | ![]() ![]() | ![]() |
16. | ![]() ![]() | ![]() |
Продолжение табл. 21.1 | ||
17. | ![]() ![]() | ![]() |
18. | ![]() ![]() | ![]() |
19. | ![]() ![]() | ![]() |
20. | ![]() ![]() | ![]() |
21. | ![]() | ![]() |
22. | ![]() | ![]() |
23. | ![]() | ![]() |
24. | ![]() | ![]() |
25. | ![]() | ![]() |
26. | ![]() | ![]() |
27. | ![]() | ![]() |