Лемма 1.5.1. Для произвольного полинома с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа α справедливо равенство .
Доказательство. Пусть . Тогда по формуле Муавра
.
Очевидно, что
.
Так как , то с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем
.
Определение 1.5.1. Полином с вещественными коэффициентами называется неприводимым, если он не делится нацело на полином с вещественными коэффициентами меньшей степени.
Теорема 1.5.1. Любой полином с вещественными коэффициентами однозначно с точностью до порядка сомножителей представляется в виде произведения неприводимых полиномов.
Доказательство. Пусть — произвольный комплексный корень полинома с вещественными коэффициентами . Тогда
.
Таким образом, если комплексное число является корнем полинома с вещественными коэффициентами, то корнем является и комплексно сопряженное число.
Из теоремы 1.3.2 следует, что полином можно разложить на множители
,
где — все вещественные корни полинома .
Ясно, что , — это неприводимые полиномы.
|
|
Рассмотрим полином
.
В силу свойств комплексных чисел и — это вещественные числа, поэтому полиномы , неприводимы.
Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде
, (1.5.1)
где степень неприводимого полинома , причем , когда .
Теорема 1.5.2 (теорема Виета). Пусть — корни приведенного полинома . Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:
,
,
,
…………
.
Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции. При формулы очевидны, а при превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при . Докажем их справедливость для случая .
В силу индукционного предположения любой полином k– й степени, имеющий корни , представим в виде
.
Если корень полинома степени , то для этого полинома справедливо:
.