Пусть – произвольное упорядоченное поле.
1. Для всяких элементов упорядоченного поля из соотношений
вытекают, соответственно, следующие соотношения:
.
Доказательство. В самом деле, в силу условия (18),
.
Отсюда следует, что
.
Действительно,
.
Так как операция сложения во всяком поле однозначна, то
.
2. Для любых элементов упорядоченного поля из соотношений
вытекают соответственно соотношения
,
если , и соотношения
,
если .
Доказательство. В силу условия (19),
.
Отсюда вытекает, что . Действительно, Далее, и . В самом деле, . Аналогично, . Из однозначности операции умножения в любом поле вытекает, что .
3. Для всяких элементов упорядоченного поля из соотношений вытекают соответственно соотношения .
Доказательство. Действительно, , , .
4. Для любых элементов упорядоченного поля из соотношений вытекают соответственно соотношения , если , и соотношения , если .
Доказательство. Доказывается это свойство методом от противного. Докажем, например, что при из соотношения вытекает соотношение . Предположим, что . Тогда, в силу 2, , что невозможно, так как по условию . Таким образом, предположение, что приводит к противоречию. Следовательно, . Аналогичные рассуждения проводятся и при рассмотрении всех других случаев.
5. Для любых элементов упорядоченного поля из соотношений вытекает соотношение .
Доказательство. Ho .
6. Для любых положительных элементов упорядоченного поля из соотношений вытекает соотношение .
Доказательство. В силу условия 2 определения 1, , и, следовательно, .
Определение. Модулем (или абсолютной величиной) элемента называют неотрицательный из элементов и . Иными словами, модуль элемента – это сам элемент , модуль элемента – это противоположный элемент . Модуль элемента обозначают символом .
В соответствии с определением 3 всегда
.
7. Для любых элементов упорядоченного поля справедливо соотношение
.
Иногда это свойство формулируют следующим образом: модуль суммы конечного числа элементов упорядоченного поля не больше суммы модулей слагаемых.
Доказательство. При это свойство имеет место. Действительно, так как всегда , то . Если , то и, следовательно, . Если же , то и поэтому .
Следовательно, всегда .
Предположим теперь, что утверждение справедливо для , т.е. . Тогда , тe. .
Таким образом, из предположения, что утверждение справедливо для , вытекает его справедливость и для . Следовательно, в силу принципа математической индукции, оно справедливо для любого натурального .
8. Для любых элементов упорядоченного поля справедливо соотношение
.
Иными словами, модуль произведения конечного числа элементов упорядоченного поля равен произведению модулей сомножителей. Доказывается это свойство, как и предыдущее, методом математической индукции.
Теорема. Сумма квадратов конечного числа элементов упорядоченного поля , по крайней мере один из которых отличный от нуля, больше нуля.
Доказательство. Если , то и . Если же , то либо , либо . Поскольку , то в обоих случаях, в силу свойства 2, . Таким образом, если по крайней мере один из элементов , отличный от нуля, то в сумме квадратов этих элементов каждое из слагаемых либо равно нулю, либо больше нуля, но хотя бы одно из них больше нуля. Следовательно, в силу свойства 1,
Следствие. Единичный элемент упорядоченного поля больше нулевого элемента 0.
Доказательство. В самом деле.
Теорема. Всякое упорядоченное поле есть поле характеристики нуль.
Доказательство. Единичный элемент поля больше нулевого элемента 0. Поэтому для любого натурального числа кратное .
Так как – положительный элемент и , то – отрицательный элемент, т. е. . Следовательно, при любом целом, отличном от нуля , а это и означает, что – поле характеристики нуль.