Фильтры Чебышева. Отличительной чертой фильтров Чебышева является наимень­шая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот

Отличительной чертой фильтров Чебышева является наимень­шая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации представляется в заданной полосе равновеликими пульсациями, т. е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной ве­личины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппрок­симации — в полосе пропускания или в полосе непропус- кания,— различают фильтры Чебышева типа I и II.

Фильтры Чебышева типа I имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе не­пропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа I n-го порядка описывается выражением

(13.1)

где T_n(Ω) - полином Чебышева n-го порядка, по определению равный:

(13.2)

а - параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа I порядка n заключается в том, что не существует какого-либо другого фильт­ра n-го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы та­кие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Другими словами, если какой-либо фильтр n-го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева типа I порядка n, то в полосе непропускания характе­ристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра Чебышева.

Фильтры Чебышева типа II (иногда их называют также обрат­ными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение ослабления в полосе пропускания (максимально гладкое при Ω = 0) и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в s-плоскости, а полюсы — в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной харак­теристики фильтров Чебышева типа II порядка n можно предста­вить следующим образом:

(13.3)

где Ω_r — наинизшая частота, на которой в полосе непропускання достигается заданный уровень ослабления.

На рис. 13.1 показано поведение квадрата амплитудной харак­теристики для фильтров Чебышева типа I и II при четных и нечет­ных n. Во всех этих фильтрах граница полосы пропускания нахо­дится при Ω = 1, где | H (1) |² = 1/(1 + ²), а граница полосы не­пропускания расположена при Ω = Ω_r, где | H (Ω_r) |² = 1/A².

Фильтр Чебышева типа I имеет простые полюсы в точках, где k = 1, 2,..n, которые лежат в s-плоскости на эллипсе, уравнение которого имеет вид:

(13.4)

Здесь

(13.5)

Рис.13.1. Общий вид функции квадрата амплитудной характеристики аналоговых фильтров Чебышева нижних частот типа I и II.

а — фильтр Чебышева типа I;

б — фильтр Чебышева типа II.

(13.6)

и

(13.7)

Фильтры Чебышева типа I I имеют и полюсы, и нули. Нули являются чисто мнимыми и находятся в точках:

, где k =1,2…..n. (13.8)

(Отметим, что при нечетных п нуль с номером k == (n +1)/2 находится на бесконечности.) Полюсы фильтров типа II можно найти, вычислив координаты особых точек знаменателя передаточ­ной функции.

Простые преобразования дают для полюсов (k = 1, 2,...) следующие выражения:

(13.9)

где

(13.10)

причем

(13.11)

и

(13.12)

Фильтры Чебышева типа I и II полностью определяются лю­быми тремя из следующих четырех параметров:

1) n (порядок фильтра);

2) (параметр, характеризующий пульсации в полосе про­пускания, см. рис. 13.1);

3) (наинизшая частота, на которой в полосе непропуска­ния достигается заданное ослабление, см. рис. 13.1);

4) А (параметр, характеризующий ослабление в полосе непро­пускания, см. рис. 13.1).

Порядок фильтра Чебышева n, необходимый для обеспечения

заданных значений , А и , определяется с помощью формулы

(13.13)

где

(13.14)

Пример 2. Рассчитать фильтр Чебышева минимального порядка, удовлетво- ряющий следующим условиям:

-пульсации в полосе пропускания равны 2 дБ;

-переходное отношение ;

ослабление в полосе непропусканпя 30 дБ.

Решение. Используя рис. 13.1, найдем параметры фильтра , А и по заданным характеристикам

Затем по формуле (13.14) получим g = 41,33, а по формуле (13.13) вычислим значение n = 6,03.

На рис. 4.19 и 4.20 представлены основные характеристики (амплитудная в логарифмическом масштабе, фазовая и групповой задержки) фильтров Чебышева типа I и II, удовлетворяющие ус­ловиям, перечисленным в примере 2. Оба фильтра имеют частоту среза = 1000рад/с (т. е. == 5000 Гц). Из сопоставления рис. 4.19 и 4.20 видно, что поведение характеристики группо­вой задержки в полосе пропускания для фильтра типа II вообще значительно лучше, чем для фильтра типа I. Это связано с тем, что нули фильтров Чебышева типа II располагаются в s-плоскости на оси jΩ, тогда как все нули фильтров Чебышева типа I находят­ся на бесконечности.