Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

3.5.1. Матрица планирования эксперимента. Её свойства.

В ПФЭ каждый фактор варьируется на двух уровнях. Число возможных комбинаций уровней факторов будет:

N= 2^k, (3.14)

где k - число факторов.

Таким образом, эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней факторов, называют полным факторным экспериментом.

Условия эксперимента удобно представлять в виде таблицы, называемой матрицей планирования или планом эксперимента, который включает «собственно план» и вспомогательные столбцы, служащие для обработки уже проведённого эксперимента.

При большом числе опытов и факторов удобно пользоваться следующим правилом для составления матрицы планирования ПФЭ: в первом столбце х₁ знаки «плюс» и «минус» меняются поочередно; во втором х₂ – через два; в третьем –через четыре; в четвертом – через восемь и т.д. Матрица планирования эксперимента 2³ c эффектами взаимодействия имеет вид, приведенный в табл. 3.2.

Таблица 3.2

№ опыта	х0	х 1	х 2	х 3	х 1 х 2	х 1 х 3	х 2 х 3	х 1 х 2 х 3	yi
	+	+	+	+	+	+	+	+	y 1
	+	–	+	+	–	–	+	–	y 2
	+	+	–	+	–	+	–	–	y 3
	+	–	–	+	+	–	–	+	y 4
	+	+	+	–	+	–	–	–	y 5
	+	–	+	–	–	+	–	+	y 6
	+	+	–	–	–	–	+	+	y 7
	+	–	–	–	+	+	+	–	y 8
	N

Построенный таким образом план ПФЭ обладает свойствами:

· симметричности относительно центра эксперимента – сумма элементов каждого столбца равна нулю

; (3.13)

· нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов

; (3.14)

· ортогональности – сумма построчных произведений элементов двух любых столбцов равна нулю

, . (3.15)

Ортогональность является важным свойством планов ПФЭ, поскольку оценка всех коэффициентов уравнения регрессии производится независимо друг от друга и факторы, имеющие незначимые коэффициенты могут быть выведены из состава уравнения без повторного вычисления остальных коэффициентов уравнения регрессии;

· ротабельности, которая означает одинаковость предсказательной способности уравнений, полученных по планам ПФЭ по всем направлениям от начала координат, т.е. дисперсия предсказания зависит только от радиуса сферы, на которой расположена рассматриваемая точка.

Указанные выше свойства планов ПФЭ существенно упрощают расчетные формулы по определению оценок коэффициентов линейных моделей.

Геометрически матрица планирования представляет квадрат, куб, k –мерный гиперкуб, в зависимости от числа факторов, в котором вершины являются опытными точками.

Рис. 3.2. Геометрическая интерпретация матрицы планирования 2 ².

В общем случае линейная модель имеет вид

. (3.16)

3.5.2. Метод наименьших квадратов. Оценка коэффициентов модели.

Поскольку при проведении ПФЭ число опытов определяется величиной N =2 ^k, то для идентификации четырехфакторной линейной модели, которая содержит 5 неизвестных коэффициентов, необходимо провести 16 опытов. В этом случае число уравнений, которые можно составить после проведения опытов по плану ПФЭ, превышает число неизвестных коэффициентов. С целью снятия переопределенности системы для вычисления коэффициентов полинома используют метод наименьших квадратов (МНК). Идея МНК состоит в том, что оценки коэффициентов линейного уравнения выбираются из условия минимизации ошибки аппроксимации .

Пусть y_i действительное значение функции отклика, определяемое в i –том опыте, а y_0i – значение, рассчитанное по формуле (3.16). Ошибка определится как разность действительного и расчётного значений функции отклика = y_i – y_0i.

Рис.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии (3.16) определяются из условия

. (3.17)

Предположим, что ошибки в отдельных наблюдениях имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией , не коррелированны между собой и не зависят от значений факторов. Для простоты математических выкладок рассмотрим однофакторный эксперимент. Модель в этом случае имеет вид:

y_0i = b₀+b₁ x_i. (3.18)

Запишем условие (17) для рассматриваемого случая

. ( 3.19)

Минимум выражения (3.19) может быть достигнут за счет подборакоэффициентов b ₀ и b ₁. Это означает, что частные производные выражения (3.19) по неизвестным коэффициентам должны быть равны нулю.

. (3.20)

Проведя несложные преобразования, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов полинома:

. (3.21)

Число уравнений в системе (3.21) равно числу двух искомых коэффициентов b₀ и b_1.

Исходя из свойств симметричности и нормировки

систему (3.21) можно переписать

. (3.22)

Откуда могут быть получены оценки коэффициентов полинома

, . (3.23)

Формулы для определения оценок коэффициентов линейной модели в случае действия k факторов можно привести к единому виду, если в матрицу планирования ввести нулевой столбец, состоящий из верхних уровней нормированных факторов, т.е. +I (см. табл. 3.2). Тогда выражение для j коэффициента примет вид:

, (3.24)

где j– номер коэффициента, стоящего при соответствующем факторе (j=0,1,...k);

i – номер опыта.

Таким образом, способ расчета коэффициентов модели в данном случае очень прост: для подсчета любого b_jстолбцу результатов эксперимента y_i следует приписать знаки соответствующего столбца x _j,, сложить экспериментально найденные значения y_i с этими знаками и результат разделить на число опытов матрицы планирования.

При ортогональном планировании формула для определения коэффициентов принимает вид:

. (3.25)

Поскольку коэффициенты регрессии рассчитывают по формуле (3.25) из результатов опытов, являющихся случайными величинами, то и сами коэффициенты является случайными величинами.

3.5.3. Оценка значимости коэффициентов модели.

После нахождения оценок коэффициентов производится оценка их значимости, которая проводится путёмсопоставления абсолютной величины коэффициента с его доверительным интервалом его определения, рассчитываемым по формуле:

; (3.26)

где t _α –значение критерия Стьюдента, который берется изтаблиц его распределения в зависимости от уровня значимости α (α = 0,01; 0,05; 0,1) и числа степеней свободы f₁= n₀ - 1 (где n ₀ –число дублирующих опытов, обычно, в центре плана). Для технических измерений α чаще всего принимается равным 0,05. Для меньших значений величины α доверительный интервал определения получается больше (см. табл. 3.3).

– среднеквадратичная ошибка в определении коэффициента регрессии b_j, которая определяется в зависимости от величины дисперсии воспроизводимости.

В случае равномерного дублирования опытов и числе дублирующих опытов в каждой строке плана n дисперсия коэффициентов определяется по формуле

. (3.27)

Коэффициент считается статистически значимым, когда его абсолютная величина больше доверительного интервала его определения или равна ему

или ; (3.28)

Смысл последнего неравенства заключается в том, что абсолютная величина значимого коэффициента должна быть в раз больше, чем ошибка его определения.

Некоторые значения критерия Стьюдента приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Число степеней свободы f1	Уровни значимости α
0,1	0,05	0,01
I	6,3I	12,7	63,66
	2,92	4,30	9,93
	2,02	2,57	4,03
	1,81	2,23	3,17
	1,73	2,03	2,85
	1,64	1,96	2,58

Статистическая незначимость коэффициента в уравнении 3.16 интерпретируется, как отсутствие влияния соответствующего фактора. Если модель линейная и соответственно незначим линейный эффект, можно считать, что данный фактор в изученных интервалах его изменения на функцию отклика не влияет.

При ортогональном планировании статистически незначимые коэффициенты из модели могут быть исключены и при этом пересчет остальных коэффициентов не требуется.

3.5.4. Оценка адекватности модели

После оценивания коэффициентов модели проводится оценка адекватности модели, которая состоит в оценке однородности дисперсии воспроизводимости и дисперсии неадекватности с использованием критериев, приведенных в разделе 3.3.

Дисперсию неадекватности определяют по формуле (3.29)

, (3.29)

где – значение у, определенное по модели для i -тых условий

эксперимента;

– значение у, определенное в i -том опыте;

– число степеней свободы определения дисперсии неадекватности.

, (3.30)

где – число найденных коэффициентов в модели.

При оценке адекватности модели по критерию Фишера оценивается отношение

, (3.31)

которое сопоставляется с табличным значением , определяемом при степени свободы дисперсии воспроизводимости и степени свободы дисперсии неадекватности . Если , то модель считается адекватной, в противном случае модель неадекватна.