Пусть такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория рис.1, исходящая при из точки , проходит в момент времени через некоторую точку прямой П. Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой не нулевой непрерывной вектор функции , соответствующей функциям и , что
1. При любом гамильтониан достигает максимума по т.е.
2. В конечный момент имеет место соотношение
Замечание 1. Доказано, что на интервале и являются константами, поэтому если условия выполняется для , то они выполняются для любых .
Замечание 2. В большинстве случаев (см. рис. (*))
Замечание 3. Теорема получила название принципа максимума в связи с тем, что оптимальное управление , доставляющие максимум гамильтониану .
Следовательно, данная теорема говорит только о необходимости существования функции и выполнения условия максимума. вдоль оптимальной траектории, ноне дает конкретных рекомендаций по выбору оптимального управления.
* ищется как управление,
Пример. (глава II)
|
|
Введем вектор
для
для
т.к. т.е. для задач автоматического управления.
исходя их
Находим т.е.
Перепишем варьирование
Получили 3 уравнения с 3-мя неизвестными
Из главы (2)
Вектор характеризует положение гиперплоскости, т.е. играет так же роль, что и . Следовательно, решение то же самое.
Будем приближенно находить оптимальное управление и оптимальную траекторию.
Начальное . Найдем значение оптимального управления.
Зададимся произвольно,
Тогда Вычислим
, а должно быть =0
Возьмем
Возьмем
Если точность устраивает, то итерацию можем закончить.
Введем шаг дискретности по времени ∆
Каждый раз начало отчета берем в новой точке из уравнения
откуда
Тогда координата в будет
и т.д. см. рис. 1
Пример.
На управление наложено ограничение
Возможно 2 случая
1)
2) То решение происходит предыдущим способом без ограничений.
при оптимальном управлении
согласно ограниченным условиям определим значение управляющего сигнала при .
Замечено, что в начальный момент времени управление берется максимальным.
и далее, как в предыдущем примере см. рис. 2