От противного приходим к точки
и чисел
, таких, что
. Определим последовательность функций
Для всех справедливо
. Вторая вариация функционала в
вдоль
(2)
Из (2) (3) где
и при
правая часть (3) стремится к
и для больших
что противоречит [Т.3, п.10.3]. ч.т.д.
Опр.2 Функция удовлетворяет условию Якоби, если для нее выполнены сильное условие Лежандра и
, где
- решение дифференциального уравнения Якоби (4) с начальными условиями
. Если кроме того
, то будем говорить, что имеют место сильные условия Якоби.
Замечание. Если удовлетворяет сильным условиям Лежандра, то уравнение Эйлера-Лагранжа, связанное с функционалом
называют дифференциальным уравнением Якоби, связанным с функционалом I и функцией у. Используя принятые выше обозначения оно имеет вид
(4)
Теорема 2. Пусть , функция
доставляет локальный минимум (слабый) функционалу I и для нее выполняются сильные условия Лежандра. Тогда
удовлетворяет условиям Якоби.