Пусть дана система S, имеющая п каналов обслуживания, на которые поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Пусть поток обслуживания также простейший и имеет интенсивность μ. Очередь на обслуживание не ограничена.
По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S0,S1,S2,…,Sk ,… Sn, где Sk – состояние системы, когда в ней находится k заявок (максимальное число заявок под обслуживанием - n). Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S0 S1 S2 Sm+1 Sn
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Рисунок 6: Многоканальная СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживаний меняется в зависимости от состояния системы: kμпри переходе из состояния Skв состояние Sk-1 так как может освободиться любой из kканалов; после того, как все каналы заняты обслуживанием, интенсивность потока обслуживаний остается равной пμ, при поступлении в систему следующих заявок.
|
|
Для нахождения финальных вероятностей состояний получим формулы аналогично тому, как это было сделано для одноканальной системы.
(63)
Отсюда формулы для финальных вероятностей выражаются через
(64)
Для нахождения р0 получим уравнение:
(65)
Для слагаемых в скобках, начиная с (n + 2)-го, можно применить формулу нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ρ/n:
(66)
Окончательно получим формулу Эрланга для нахождения вероятности простоя системы:
(67)
Приведем формулы для расчета основных яоказателей эффективности работы системы.
Система будет справляться с потоком заявок, если
выполнено условие
, (68)
которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время. При этом вероятность отказа в обслуживании равна нулю.
Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события, то есть единице:
(69)
Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженныхсистемой в единицу времени:
(70)
Если система справляется с потоком заявок, то в стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности потока поступающих в систему заявок, так как обслуживаются все заявки:
ν=λ. (71)
Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:
(72)
Среднее время обслуживания каналом одной заявки;
. (73)
Вероятность того, что при поступлении в систему заявка окажется в очереди, равна вероятности того, что в системе находится более чем п заявок:
|
|
(74)
Число заявок, находящихся под обслуживанием, равно числу занятых каналов:
(75)
Среднее число заявок в очереди:
(76)
Тогда среднее число заявок в системе:
(77)
Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди):
(78)
(79)
Многоканальную СМО с неограниченной очередью можно рассмотреть в системе Mathcad.
Пример 1:
Салон-парикмахерская имеет 5 мастеров. В час пик интенсивность потока клиентов равна 6 человек. В час. Обслуживание одного клиента длится в среднем 40 минут. Определить среднюю длину очереди, считая ее неограниченной.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
Пример 2:
В железнодорожной кассе имеются 2 окна. Время на обслуживания одного пассажира 0,5 минут. Пассажиры подходят к кассе по 3 человека. Определить все характеристики системы.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
Продолжение решения задачи в Mathcad.