Собственные полупроводники

Так же как и в металлах, электрический ток в полупроводниках связан с дрейфом носителей зарядов. Как уже было сказано ранее, в металлах образуется такая кристаллическая структура, в которой атомы металла находятся на строго определенном расстоянии друг от друга в среде коллективизированных электронов. Эти коллективизированные или обобществленные электроны не локализуются вблизи своих атомов, а свободно перемещаются между атомами, образуя “электронный газ”.

В полупроводниках появление носителей заряда определяется рядом факторов, важнейшими из которых является чистота материала и его температура. В зависимости от степени чистоты полупроводники разделяются на собственные и примесные. Собственный полупроводник или полупроводник типа i (от английского слова intrinsic – собственный, внутренний) - это полупроводник, не содержащий примесных атомов другой валентности, влияющих на его электропроводность. В реальных условиях в кристаллической решетке полупроводника всегда существуют примеси, однако их концентрация настолько мала, что ею можно пренебречь.

Рассмотрим каким образом атомы вещества образуют твердое тело, имеющее кристаллическую решетку. Кристаллическая решетка образуется под действием химической связи. Одним из важнейших типов химической связи является ковалентная связь, которая осуществляется парой электронов, общих для двух атомов, образующих связь.

Рис.4.2 поясняет механизм образования ковалентной связи между двумя простейшими атомами – атомами водорода, имеющими по одному валентному электрону на внешней электронной оболочке. Внешние электронные оболочки отдельных атомов при их сближении перекрывают друг друга (рис.4.2), в результате чего возрастает плотность отрицательного заряда в межъядерном пространстве. Это приводит к появлению сил притяжения, уравновешивающих силы взаимного отталкивания между ядрами. Такая химическая связь между атомами и называется ковалентно й связью. Перекрытие электронных оболочек сблизившихся атомов приводит к обобществлению валентных электронов. В этом случае электрон принадлежит уже не одному атому, а нескольким атомам, образующим твердое тело.

В отличие от проводников, в которых обобществленные электроны свободно перемещаются между атомами, образуя “электронный газ”, обобществленные электроны в полупроводнике не могут свободно перемещаться, а локализуются вблизи своих атомов.

Рассмотрим в качестве примера собственного полупроводника типичный электронный полупроводник – химически чистый кремний Si. Он является элементом 4-й группы таблицы Менделеева. Следовательно, атом кремния имеет

на внешней оболочке четыре валентных электрона. Когда атомы кремния сближаются между собой, то между ними возникает ковалентная химическая связь, в результате чего образуется твердое тело.

Рис.4.2. Образование ковалентной связи в двухатомной молекуле водорода H₂.

Каждый атом кремния в кристаллической решетке связан с четырьмя ближайшими соседними атомами ковалентной связью, в которой участвуют два электрона (рис.4.3). В такой системе также происходит обобществление валентных электронов. Поскольку валентность атомов равна четырем, то вокруг каждого из атомов, кроме четырех собственных электронов, вращаются еще четыре соседних электрона. Вследствие этого вокруг каждого атома образуются прочные электронные оболочки, состоящие из восьми обобществленных валентных электронов (рис.4.3). Такая связь характеризуется очень высокой прочностью. Чтобы освободить электрон из такой связи, требуется определенная энергия. В связи с этим чистые полупроводники при 0 К и отсутствии внешних энергетических воздействий ведут себя как диэлектрики. В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля валентная зона полностью заполнена электронами, а зона проводимости абсолютно свободна. Поэтому собственный полупроводник и ведет себя как идеальный диэлектрик.

Рис.4.3. Плоская модель кристаллической решетки чистого кремния.

В соответствии с положениями квантовой теории вероятность P(W) заполнения электронами энергетических уровней W определяется функцией Ферми-Дирака:

. (4.1)

Здесь W – энергия уровня, вероятность заполнения которого рассчитывается,

W_F – энергия Ферми (уровень Ферми), это максимальная энергия, которую могут иметь электроны при температуре абсолютного нуля,

k – постоянная Больцмана,

Т – термодинамическая температура.

Как следует из формулы (4.1), при Т =0 К функция Ферми-Дирака обладает следующими свойствами: P(W)=1, если W W_F и P(W)=0, если W>W_F. Это значит, что при Т =0 К Все электроны находятся на уровне Ферми, лежащем посередине запрещенной зоны (рис.4.1).

Если кристаллической решетке сообщить некоторое дополнительное количество энергии, например, путем нагрева, света или радиоактивного облучения, то электрон может разорвать и покинуть ковалентную связь. Электрон превращается в свободный носитель n отрицательного электрического заряда (от латинского negative – отрицательный). Таким образом, появляется вероятность того, что некоторые электроны окажутся в зоне проводимости. Чем выше будет температура, тем больше вероятность перехода электронов на свободные уровни. В результате ухода электрона ковалентная связь становится дефектной – в ней не будет хватать одного электрона с отрицательным зарядом. В результате образуется “вакантное” место p (от латинского positive – положительный), которое может занять один из валентных электронов соседней связи. При этом вакантное место p перемещается к другому атому. Перемещение вакантного места p внутри кристаллической решетки принято рассматривать как перемещение некоторой квазичастицы, обладающей положительным зарядом. Такая квазичастица называется дыркой. Величина положительного заряда квазичастицы равна заряду электрона.На самом деле в этом случае движутся только электроны, но их эстафетное перескакивание с атома на атом можно формально описать как движение одной дырки, перемещающейся в направлении, обратном направлению движения электронов, т. е. в направлении поля.

На рис.4.1 показано, как изменяется функция вероятности заполнения электронами энергетических уровней при увеличении температуры Т. На рис.4.1 температура Т2 больше чем температура Т1. Как видно из рис.4.1, при нагревании полупроводника электроны начинают заполнять уровни с более высокой энергией. Средняя энергия электронов остается без изменения и при любой температуре для уровня с энергией W=W _F вероятность заполнения его электронами равна 0,5. Функция вероятности для дырок аналогична функции вероятности для электронов. Различие состоит лишь в том, что для дырок энергия возрастает вниз от уровня Ферми. Это значит, что чем «глубже» находится дырка, тем больше ее энергия.

Таким образом, в собственном полупроводнике под действием внешней энергии всегда возникает (генерируется) пара носителей зарядов – электрон e и дырка p (рис4.3). Скорость генерации G определяется количеством пар носителей заряда, генерируемых в единицу времени. Возникшие в результате генерации носители заряда находятся в состоянии хаотического движения, средняя тепловая скорость которого определяется по формуле:

(4.2)

Здесь k =1,38·10^-23Дж/К=8,62·10^-5эВ – постоянная Больцмана.

T – термодинамическая температура;

- эффективная масса носителя заряда.

Двигаясь хаотически, свободные электроны могут занимать вакантные места в ковалентных связях. При этом прекращает свое существование пара носителей заряда – электрон и дырка. Это явление называют рекомбинацией. Скорость рекомбинации R определяется количеством пар носителей заряда, исчезающих в единицу времени.

Каждый из подвижных носителей заряда существует (“живет”) в течение некоторого промежутка времени, среднее значение которого называют временем жизни носителей заряда и обозначают для электронов , а для дырок . В собственном полупроводнике . В равновесном состоянии генерация и рекомбинация протекают с одинаковой скоростью, поэтому в полупроводнике устанавливается собственная концентрация электронов, обозначаемая , и собственная концентрация дырок, обозначаемая . Поскольку электроны и дырки генерируются попарно, то в собственном полупроводнике выполняется условие . При комнатной температуре в кремнии =1,4·10¹⁰см^-3, а в германии =2,5·10¹³см^-3. С увеличением температуры собственные концентрации электронов и дырок растут по экспоненциальному закону. Таким образом, проводимость полупроводника всегда является возбужденной, т.е. она появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т.д.).

На рис.4.4 приведена энергетическая диаграмма собственного полупроводника, т. е. такого, у которого электроны в зону свободных энергетических уровней (зону проводимости) могут поставляться только из заполненной электронами зоны (валентной зоны). На рис.4.4 электроны обозначены черными кружками, а дырки - светлыми. При сообщении кристаллической решетке некоторого количества энергии, например, путем нагрева, электроны с верхних уровней валентной зоны могут переходить на нижние уровни свободной зоны (зоны проводимости). Свободный электрон обладает энергией, большей той, которую он имел в связанном состоянии, на величину, большую или равную энергии ширины запрещенной зоны . Скорость тепловой генерации обратно пропорциональна ширине запрещенной зоны и прямо пропорциональна температуре T. Чем шире запрещенная зона , тем меньше концентрация собственных носителей заряда.

Распределение электронов по уровням энергии, изображенное на рис.4.4, соответствует некоторой температуре Т, при которой в зону проводимости перешло несколько электронов, образовав в валентной зоне соответствующее число дырок. Стрелками с буквой G на рис.4.4 показан процесс генерации пар носителей заряда, а стрелками с буквой R – процесс рекомбинации носителей заряда, когда электрон возвращается в валентную зону на вакантное место дырки. При этом исчезают два носителя заряда: электрон n и дырка p. Буквы G и R характеризуют скорость генерации и скорость рекомбинации пар носителей заряда, т. е. количество пар носителей заряда, генерируемых и исчезающих в единицу времени.

Рис.4.4. Зонная диаграмма собственного полупроводника.

Так как при каждом акте возбуждения в собственном полупроводнике одновременно создаются два заряда противоположных знаков, то общее число носителей заряда в единице объема будет в два раза больше числа электронов в зоне проводимости, т. е.

; (4.3)

Индекс i у концентрации электронов и концентрации дырок, как и было ранее, означает, что это собственные носители зарядов.

Поскольку в полупроводнике имеются свободные электрические заряды, то под действием электрического поля с напряженностью E в полупроводнике возникает направленное движение этих зарядов, т.е. возникает электрический ток. В создании электрического тока принимают участие как электроны, так и дырки. Ток, создаваемый электронами, определяется суммарным количеством электронов, переносимых за единицу времени через площадь, перпендикулярную направлению электрического поля:

(4.4)

Здесь Q_n – суммарный заряд, переносимый электронами за время t через поперечное сечение полупроводника S, перпендикулярное направлению электрического поля; e =1,602·10^-19Кл – заряд электрона, n_i – концентрация электронов в зоне проводимости, т.е. число электронов в единице объема; V - объем электронов, проходящий через сечение S за время t; l – длина объема V, в направлении движения электронов; - средняя скорость упорядоченного движения электронов, возникающая под действием электрического поля (дрейфовая скорость).

Плотность тока , создаваемая электронами будет равна:

(4.5)

Средняя скорость электронов пропорциональна напряженности поля:

(4.6)

Здесь - коэффициент пропорциональности, называемый подвижностью электронов, м²/(В·с).

Подставив выражение (4.6) в равенство (4.5), получим закон Ома в дифференциальной форме:

. (4.7)

Здесь - удельная электронная проводимость собственного полупроводника.

Аналогично запишем для дырочной проводимости:

. (4.8)

Здесь - удельная дырочная проводимость собственного полупроводника; - концентрация дырок в валентной зоне; - подвижность дырок.

Учитывая, что в собственном полупроводнике электрический ток обусловлен движением электронов и дырок, получим для суммарной плотности тока:

(4.9)

Удельная проводимость собственного полупроводника.

(4.10)

Удельное сопротивление собственного полупроводника будет равно:

(4.11)

Итак, в результате процессов возбуждения G и рекомбинации R при любой температуре тела устанавливается равновесная концентрация возбужденных носителей заряда:

электронов , (4.12)

дырок (4.13)

где - ширина запрещенной зоны полупроводника; и - постоянные величины для концентрации электронов в свободной зоне и дырок в валентной зоне. Коэффициент, равный двум, в скобках показателя экспоненты введен в связи с тем, что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны. Действительно, для “переброса” электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны . При появлении электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия затрачивается на образование пары носителей заряда. Чтобы определить энергию, необходимую для образования одного носителя заряда, энергия должна делиться на две равные части.

Из выражений (4.12) и (4.13) следует, что концентрация зарядов, а следовательно, и удельная проводимость полупроводника растет с ростом температуры по экспоненциальной зависимости.

При приложении к кристаллу внешнего электрического поля свободные электроны перемещаются против поля, а дырки – в направлении поля. Однако, хотя электроны и движутся против поля, создают обычный ток, совпадающий с внешним приложенным полем. Следовательно, электронный и дырочный токи текут в одном и том же направлении и поэтому складываются.

Подвижности электронов и_п и дырок и_р в выражении (4.9) неодинаковы. Электроны и дырки обладают различной инерционностью при движении в поле кристаллической решетки полупроводника, т. е. отличаются друг от друга эффективными массами т*_п и т*_р. В большинстве случаев т*_п < т*_р. Отсюда собственная электропроводность полупроводников имеет слабо преобладающий электронный характер.

Задача 4.1. Вычислить отношение полного тока через собственный полупроводник из германия к составляющей тока, обусловленной дырочной проводимостью. Принять собственную концентрацию носителей заряда при комнатной температуре n_i =2,1·10¹⁹м^-3, подвижность электронов u_n =0,39м²/(В·с), подвижность дырок u_p =0,19м²/(В·с).

Решение. Отношение полного тока к составляющей, обусловленной дырочной проводимостью в соответствии с формулами (4.9) и (4.10) будет равно:

.

С учетом того, что в собственном полупроводнике концентрации электронов n_i и дырок p_i будут равны, получим:

.

Таким образом, отношение полного тока к его дырочной составляющей в собственном полупроводнике из германия составляет 3,05.