Постановка задачи. Рассмотрим изотропное неравномерно нагретое тело, объем которого
, а поверхность
Выделим в этом теле элементарный объем d
, ограниченный поверхностью d
. Выделенный элементарный объем d
настолько мал, что изменением температуры внутри его по координатам можно пренебречь, учитывая лишь изменение температуры во времени. Требуется найти закономерность измерения температуры в твердом теле t = f (x, y, z, t).
Выделенный объем dбудем рассматривать в качестве термодинамической системы. Запишем для нее первый закон термодинамики. d
= d
+ d
, где d
= -
d
– работа сил упругих деформаций в твердом теле при постоянном давлении равна нулю. Теплота d
представляет собой сумму теплоты, выделяемой внутри объема тела (
), и теплоты, поступающей через поверхность извне (
), т.е.
. Тогда
.
Количество теплоты, проходящей через поверхность тела за время dt:
.
Знак минус появился потому, что теплота теряется объемом, т.е. с точки зрения термодинамики теплота отрицательная. Теплота, выделяемая внутри объема тела за время dt, определяется по формуле
|
|
.
Изменение энтальпии за время dt:
.
сокращая на dt, имеем
.
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, согласно которой интеграл потока вектора поля через замкнутую поверхность F равен
интегралу от дивиргенции этого потока вектора поля по объему V, ограниченному поверхностью F, т.е.
.
Тогда уравнение запишется в виде
или .
Учитывая, что интеграл равен нулю, когда его подынтегральное выражение равно нулю, имеем
Подставляя значения q, получим
Учитывая, что , запишем
,
откуда
.
Величина , м2/с, называется коэффициентом температуропроводности, является физическим параметром и характеризует теплоинерционные свойства тела. Уравнение
является дифференциальным уравнением теплопроводности для твердого тела.