Законы Стефана — Больцмана и Вина

В 1879 году Йозеф Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к заключению, что интегральная светимость R ( T ) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры T:

(189)

Несколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман теоретически получил эту зависимость из термодинамических соображений. Этот закон получил название закона Стефана - Больцмана. Числовое значение постоянной σ, по современным измерениям, составляет

К концу 90-х годов XIX века были выполнены тщательные экспериментальные измерения спектрального распределения излучения абсолютно черного тела. Результаты исследования – зависимость

r(λ, T) излучения черного тела при различных температурах, представлены на рисунке 65. Исследования показали, что при каждом значении температуры T зависимость r(λ, T) имеет ярко выраженный максимум (рис.65). С увеличением температуры максимум смещается в область коротких длин волн, причем произведение температуры T на длину волны λ_m, соответствующую максимуму, остается постоянным:

или (190)

Это соотношение ранее было получено Вином из термодинамики. Оно выражает так называемый закон смещения Вина: длина волны λ_m, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре T. Значение постоянной Вина:

При практически достижимых в лабораторных условиях температурах максимум излучательной способности r (λ, T) лежит в инфракрасной области. Только при T ≥ 5·10³ К максимум попадает в видимую область спектра. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на 470 нм (зеленая область спектра), что соответствует температуре наружных слоев Солнца около 6200 К (если рассматривать Солнце как абсолютно черное тело).

Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости от температуры имеет вид:

, (191)

где с = 1,30^.10^-5 Вт/(м^2.К⁵). Соотношение (191) – второй закон Вина: максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела прямо пропорционально пятой степени абсолютной температуры.

Успехи термодинамики, позволившие теоретически вывести законы Стефана–Больцмана и Вина, вселяли надежду, что из термодинамических соображений удастся получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела r(λ, T). В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей, который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия. Эта теорема была применена Релеем к равновесному излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

; (192)

где < e > = kT - средняя энергия осциллятора с собственной частотой n. Для осцил­лятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы < e > = kT.

Сравнение закона распределения энергии по длинам волн r(λ, T) в излучении абсолютно черного тела с формулой Рэлея–Джинса при T = 1600 К приведено на рисунке 66. Из рисунка следует, что формула Рэлея — Джинса согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно длинных волн (рис. 90). Кроме того, из нее следует абсурдный вывод о том, что интегральная светимость R(T) черного тела должна обращаться в бесконечность, а следовательно, равновесие между нагретым телом и излучением в замкнутой полости может установиться только при абсолютном нуле температуры.

Рисунок 66

Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена М. Планком на основе новой идеи, чуждой классической физике.

Гипотеза и формула Планка

Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения нагретым телом электромагнитной энергии, происходят не непрерывно, как это принимала классическая физика, а конечными порциями – квантами. Квант – это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. По теории Планка, энергия кванта ε прямо пропорциональна частоте света:

(193)

где h – так называемая постоянная Планка, равная h = 6,626·10^–34 Дж·с. Постоянная Планка – это универсальная константа, которая в квантовой физике играет ту же роль, что и скорость света в СТО.

Taк как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e₀:

; (n =1,2,…) (194)

В данном случае среднюю энергию <e> осциллятора нельзя принимать равной kT. В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состоя­ниям подчиняется распределению Больцмана, средняя энергия осциллятора

, (195)

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

(196)

где c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

, (197)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседа­нии Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

ЛЕКЦИЯ 10