Если через точку М(x 0, y 0, z 0 ) некоторой поверхности S провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые, то окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М, а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания М, называется нормалью к поверхности.
Пусть поверхность задана уравнением , где - дифференцируемая функция, тогда уравнение касательной плоскости в точке М( x 0, y 0, z 0 ) поверхности S есть , (2)
а уравнение нормали к поверхности в точке : . (3)
Пример 5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение:
1). Проверим, принадлежит ли точка М 0поверхности . Для этого подставим ее координаты в уравнение этой поверхности. В результате получится верное равенство. Следовательно, точка принадлежит поверхности .
2). Определим частные производные первого порядка и вычислим их значения в точке касания:
, , , .
3). Так как поверхность задана в явном виде, то уравнение касательной плоскости будет иметь вид (2): или .
|
|
4). Уравнение нормали запишется в виде (3): .