Чтобы улучшить работу СМО путем изменения ее организации, необходимо рассчитать показатели качества её функционирования при существующем варианте организации и при других возможных вариантах и на основе этих расчетов принять решение.
А. Система обслуживания с потерями (отказами)
Вероятность того, что в обслуживающей системе находится точно k требований, т.е. занято k обслуживающих аппаратов:
Рk = Р 0, (4.8)
где k – число требований в системе (k = 1, 2, 3, …, n); n – число обслуживающих аппаратов; Р 0 – вероятность того, что в системе нет ни одного требования.
Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны (простаивают):
Р 0 = ()-1 . (4.9)
Вероятность отказа в обслуживании. Отказ происходит в случае, когда все обслуживающие аппараты заняты. Тогда вероятность отказа равна вероятности того, что все аппараты заняты, или вероятности того, что в системе находится ровно n требований:
Р отказа = Pn = ()-1. (4.10)
Относительная пропускная способность и вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена
|
|
Q = Pобс = 1 – Pотк = 1 – Pn. (4.11)
Абсолютная пропускная способность и интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
A = l× Q = l× (1 – Pn). (4.12)
Степень загрузки системы характеризуется средним числом занятых обслуживающих аппаратов
М = = a× (1 – Pn). (4.13)
Коэффициент загрузки обслуживающего аппарата
Кзаг = М / n. (4.14)
Пример. В механическом цехе на одном участке работают 3 контролёра. Если деталь поступает в ОТК, когда контролёры заняты, она уходит на склад готовой продукции, не ожидая контроля. Известно, что среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение 1 ч. равно 24, а среднее время обслуживания равно 5 мин. Какова вероятность того, что деталь не будет проконтролирована и насколько будут загружены контролёры работой
Решение. n = 3, l = 24, = 5 мин = ч.,
n = = 12, a = = = 2, n ³ a.
Ротказа = = + )-1 =
= × (1+ 2 + 2 + )-1 = × ()-1 = = 0,21.
Вероятность отказа 0,21 означает, что из 100 деталей в среднем ОТК пройдет 79 деталей и не пройдет 21 деталь.
Определим степень загрузки контролёров
М = = 0 × Р0 + 1 × Р1 + 2 × Р2 + 3 × Р3.
Расчеты представлены в следующей таблице.
Таблица 4.1
Число занятых контролеров | Рk/Ро= | Рk = × Р0 | k × Рk |
0,16 | |||
0,32 | 0,32 | ||
0,32 | 0,64 | ||
4/3 | 0,21 | 0,63 | |
S | 19/3 | » 1 | 1,59 |
Р0 = ()-1 = 0,16;
М = 1,59 означает, что полностью занято более полутора контролёров.
Коэффициент загрузки одного контролёра
Кзаг = = 0,53,
т.е. каждый контролёр в среднем занят более половины дня.
Для автоматизации расчёта характеристик системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA (рис. 57).
|
|
Рис. 57. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму
Выбор модели СМО осуществляется с помощью закладки Параметры. Для этого необходимо выделить требуемый вид модели и нажать кнопку Выбор (рис. 58). Исходными данными для многоканальной системы массового обслуживания с отказами являются: интенсивность входного потока l, интенсивность обслуживания n и число каналов обслуживания n (рис. 57). Результаты расчётов характеристик СМО с отказами в ППП PRIMA представлены на рис. 59.
Рис. 58. Выбор модели СМО
Рис. 59. Результаты расчётов характеристик СМО с отказами
Б. Система обслуживания с ожиданием или без потерь
(замкнутая система массового обслуживания)
Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:
Рk = × ak × Р0, (0 £ k £ n), (4.15)
где k– число требований; n – число обслуживающих аппаратов; m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.
Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:
Рk = ×ak × Р0, (n < k £ m). (4.16)
Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:
Р0 = ( ×ak + × ak)-1. (4.17)
Введем обозначения для краткой записи () и (), тогда
Р0 = ( + )-1. (4.18)
Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди
М1 = × Рk. (4.19)
Коэффициент простоя обслуживаемого требования в ожидании обслуживания
К1 = . (4.20)
Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании
М2 = × Рk. (4.21)
Коэффициент простоя обслуживаемого требования в обслуживающей системе
К2 = . (4.22)
Среднее число свободных обслуживающих аппаратов
М3 = × Рk. (4.23)
Коэффициент простоя обслуживающего аппарата
К3 = . (4.24)
Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.
Решение. n = 2, m = 9, l = 1, = 6 мин = 0,1 ч.,
n = = 10, a = = 0,1.
В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:
k = 0 – все станки работают, очереди нет;
k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;
k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;
k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;
…………………………..………………………………
k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.
Этим состояниям системы соответствуют вероятности:
Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р9.
Определим значения для случая, когда очереди нет
(0 £ k £ 2):
b0 = × 0,1° = 1; b1 = × 0,11 = 0,9; b2 = × 0,12 = 0,36.
Определим значения для случая, когда очередь есть
(3 £ k £ 9):
b3 = × 0,13 = 0,126; … b9= × 0,19 = 0,0000014175.
Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:
Р0 = (2,43545)-1 = 0,4106.
Среднее число станков, стоящих в очереди:
М1 = × Рk = 0,098.
Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.
Коэффициент простоя станка в очереди
К1 = = 0,011.
Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.
Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)
М2 = × Рk = 0,907.
Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.
Коэффициент простоя станка в системе обслуживания
К2 = = 0,1008.
Это означает, что 10,08 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.
Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)
М3 = × Рk = 1,1907.
Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.
|
|
Коэффициент простоя рабочего
К3 = = 0,595.
Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,5 % рабочего времени простаивает без работы.
Результаты расчетов представлены в таблице 4.2.
Для автоматизации расчёта характеристик многоканальной замкнутой системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA. Выбор вида модели осуществляется в закладке Параметры и завершается нажатием кнопки Выбор (рис. 60).
Рис. 60. Выбор модели СМО
Таблица 2.2
Число требований, k | Число требований, ожидающих обслуживания, k - n | Число свободных рабочих, n - k | и | Рk=bk×Р0 | (k-n) Рk | k×Рk | (n-k) Рk |
- | 0,4106 | - | - | 0,8212 | |||
- | 0,9 | 0,3695 | - | 0,3695 | 0,3695 | ||
2 | - | - | 0,36 | 0,1478 | - | 0,2956 | - |
- | 0,126 | 0,0517 | 0,0517 | 0,1551 | - | ||
- | 0,0378 | 0,0155 | 0,031 | 0,062 | - | ||
- | 0,00945 | 0,00388 | 0,01164 | 0,0194 | - | ||
- | 0,00189 | 0,000776 | 0,003104 | 0,004656 | - | ||
- | 0,0002835 | 0,0001164 | 0,000582 | 0,0008148 | - | ||
- | 0,0002835 | 0,0000116 | 0,0000696 | 0,0000928 | - | ||
- | 0,0000014175 | 0,0000005 | 0,0000035 | 0,0000045 | - | ||
S | - | - | 2,43545 | - | 0,098 | 0,907 | 1,1907 |
В качестве исходных данных многоканальной замкнутой модели СМО следует ввести интенсивность входного потока требований и интенсивность обслуживания, число каналов обслуживания и число источников требований (максимально возможное число заявок в системе (рис. 61).
Рис. 61. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму
Результаты расчёта характеристик замкнутой многоканальной системы массового обслуживания представлены на рис. 62.
Рис. 62. Расчёт характеристик замкнутой СМО
Принятие решения о выборе оптимальной системы массового обслуживания требует многократного расчёта параметров системы массового обслуживания при изменении значений исходных данных. Выбор оптимального (рационального) варианта осуществляется согласно принятому критерию эффективности. Так, величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования (заявки) имеет вид
,
где С - величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; n – число каналов обслуживания; l - интенсивность входного потока, заявок/час; Соч –издержки, связанные с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; tоч – среднее время ожидания в очереди, час; Соб – затраты на содержание обслуживающего устройства (канала).
|
|
Тема 5. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
В результате изучения данной темы студенты должны:
знать:
- область применения моделей межотраслевого баланса в экономике;
- основные понятия моделирования межотраслевого баланса;
- методы решения задач межотраслевого баланса;
уметь:
- формулировать постановку различных задач межотраслевого баланса;
- находить решение задач межотраслевого баланса;
- давать экономическую интерпретацию полученных результатов решения задач межотраслевого баланса;
- применять методы межотраслевого баланса для решения практических задач;
владеть:
- математическим аппаратом межотраслевого баланса;
- практическими навыками формулирования и решения задач межотраслевого баланса, в том числе с помощью ЭВМ.
Важнейшим условием нормального развития национального хозяйства является сбалансированность общественного производства на всех уровнях. Эффективным аппаратом для определения сбалансированных пропорций развития являются балансовые модели производства и распределения продукции. Использование балансовых моделей помогает органам государственного управления экономикой способствовать предупреждению возникновения диспропорций в развитии отраслей национальной экономики.
Балансовые модели составляются для экономических систем разных уровней. Например, на уровне национального хозяйства используется модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции, а на уровне предприятия – модель межпродуктового баланса.
Суть балансовой модели состоит в том, что затраты должны компенсироваться доходами. Данный метод позволяет для каждой отрасли определить количество продукции, которое она должна выпустить, чтобы удовлетворить потребность всех других отраслей, включая непроизводственную сферу и потребности внешней торговли. Рассмотрим балансовую модель в стоимостном выражении.