Для получения математических моделей

Опишем основные этапы процедуры получения матема­тических моделей объектов с использованием пассивных экспери­ментов.

1. Для рассматриваемого вида устройства выявляются пер­вичные параметры (факторы), в наибольшей степени влияющие на выходной параметр. Число этих факторов k рекомендуется ог­раничивать значением k ≤ 5-8.

2. Определяется требуемое количество опытов пассивного эксперимента n или, что то же самое, требуемое число замен эк­земпляра устройства:

(4.14)

где r_min — минимальное значение коэффициента парной корре­ляции между первичным параметром (фактором) и выходным параметром, считаемое еще значимым (существенным, весомым); обычно |r_min|=0,2…0,3;

s_r — среднее квадратичное отклонение коэффициента корреляции.

Значение s_r, определяют, как

, (4.15)

где t_y — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности γ.

Пример 4.1. Требуется определить, какое число опытов пас­сивного эксперимента необходимо провести для случая, когда принято значение |r_min|= 0,3. Доверительная вероятность y = 0,95.

Решение. По табл.[ 7 ] для у = 0,95 находим t_y=1,96.

По формуле (4.15) вычислим значение s_r:

Используя выражение (4.14), определим требуемое число опытов:

Нетрудно убедиться, что для |r_min|= 0,2 число опытов n³89.

3. Проводятся опыты пассивного эксперимента. Проведение опытов включает:

· наблюдение (измерение) значений факторов для исследуемо­го экземпляра устройства или техпроцесса;

· регистрацию (измерение) значения выходного параметра, соответствующего наблюдаемым значениям факторов;

· замену экземпляра устройства или фиксация параметра с другим технологическим режимом.

4. Выполняется статистическая обработка результатов опы­тов. В общем случае сложность математической обработки зави­сит от того, коррелированны ли между собой факторы.

Статистическая обработка в настоящее время как правило выполняется на ЭВМ с использованием библиотечных программ [5,14,22].

По результатам статистической обработки строят модели в виде уравнения регрессии. Часто вначале строят линейную модель

(4.16)

где Y — выходной параметр;

x₁,…x_k — факторы;

k — количество факторов, принятых во внимание;

a₀, a₁,…,a_k — коэффициенты модели, получаемые из экспе­римента.

При записи математической модели в нее включают только значимые коэффициенты. Проверка значимости, как правило, является составной частью статистической обработки и выполня­ется с помощью тех же библиотечных программ.

Проверить значимость коэффициента модели означает дать ответ на вопрос, за счет чего коэффициент оказался отличным от нуля — за счет случайных причин (ограниченного числа опытов), либо за счет того, что это объективно имеет место.

Программы для ЭВМ, выполняющие процедуру проверки значимости, реализуют обычно следующий алгоритм. Для рас­сматриваемого коэффициента, например а, определяется довери­тельный интервал (интервальная оценка) , соответствующий доверительной вероятности γ:

,

где a_H, a_B — границы интервала.

Далее уточняется вопрос, попадает ли в построенный дове­рительный интервал точка a = 0 (рис 4.2).

коэффициент а

а_н а_точ а_в

Рис. 4.2. Доверительный интервал для коэффициента а; а_точ- точечная оценка.

Если это происходит, то нет оснований точечную оценку a*, полученную при статистической обработке, считать значимой, ибо отличной от нуля она могла оказаться за счет ограниченности числа опытов, погрешностей эксперимента и других случайных причин. Следовательно, такой коэффициент (слагаемое с коэффи­циентом а*) не следует включать в формируемую матема­тическую модель.

Если в дальнейшем выяснится, что линейная модель вида (4.16) окажется неадекватной результатам эксперимента, то опять-таки с использованием библиотечных программ для ЭВМ, строят математическую модель в виде степенного по­линома. Обычно ограничиваются полиномом второй, реже третьей степени.

5. Проверяется пригодность построенной модели для целей практики. Об этом судят по ее адекватности результатам экспе­римента.

Проверить адекватность модели означает выяснить вопрос, за счет чего имеют место расхождения между значениями выход­ного параметра, полученными экспериментально и подсчитан­ными по построенной математической модели, — за счет погреш­ностей в опытах либо за счет того, что модель плохо описывает поведение выходного параметра объекта. Обычно этап 5 выполняют также на ЭВМ, совместно с этапом 4.

Многие библиотечные программы при проверке адекватно­сти используют критерий Фишера.

Пример 4.2. Исследовалось влияние технологических операций на величину потерь в магнитопроводах.

Потери (Вт\кг)	Тип обработки (точение,шлифов.)	штамповка	отжиг	склейка
1,12		2,11	1,1	1,55
0,92		2,54	0,9	1,74
0,68		2,6		1,82
0,56		2,34	0,75	1,5
1,13		2,7	0,82	1,45
		2,15	0,64	1,68
1,1		2,4	0,96	1,78
1,3		2,1	1,2	1,8
1,85		2,62	1,1	1,72
1,7		2,44	0,87	1,86
1,75		2,06	0,66	1,45
1,05		2,43	0,72	1,9
1,35		2,12	0,65	1,76
1,6		2,12	0,88	1,63
1,7		2,6		1,75
1,6		2,35	0,92	1,8

В результате обработки экспериментальных данных получена математическая модель процесса. Из распечатки следует, что 78,5% от величины потерь в магнитопроводах зависит от факторов, включенных в исследование. Оказалось, что операция штамповки не оказывает значимого влияния на величину потерь и должна быть исключена из модели и анализа. Такой вывод противоречит опыту и требуется проведение дополнительных экспериментов для проверки такого расхождения.