2015-01-30
26748
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом — ПФЭ.
Так как при варьировании факторов лишь на двух уровнях число опытов ПФЭ N составляет 2k, то говорят, что имеет место ПФЭ типа "2 в степени k".
Условия эксперимента представляют в виде таблицы, называемой матрицей плана эксперимента, или кратко планом эксперимента. Строки матрицы называют вектор-строками, столбцы — вектор-столбцами. Для простоты записи в матрице символ "1" обычно опускают, оставляя лишь знаки "плюс" или "минус". В таблице 1 в качестве примера приведен план ПФЭ типа 2k при k = 2.
Как было сказано выше, для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных пользуются не натуральными значениями факторов, а кодированными, причем кодирование проводят так, чтобы верхний уровень соответствовал 
, нижний 
, а основной 
.
Условия факторного эксперимента записываются в виде табл.1, называемой матрицей планирования, в которую вносятся кодированные значения факторов (
и 
), а план эксперимента получается путем перебора всех комбинаций уровней.
В матрице столбцы Х1 и Х2 задают условия опытов, т.е. в соответствии со знаками этих столбцов должны устанавливаться уровни факторов при проведении опытов.
Важнейшими свойствами матриц ПФЭ являются симметричность, условие нормировки и ортогональность.
Симметричность достигается обеспечением условий
(4.22)
где j—номер фактора, j = 1,..., k;
i — номер опыта, i = 1,..., N.
Условие нормировки выражается соотношением
(4.23)
Ортогональность обеспечивается при выполнении равенств
(4.24)
Если хотя бы одно из условий (4.22)...(4.24) не выполняется, то это означает, что матрица ПФЭ составлена неверно.
ПФЭ позволяет количественно оценить эффекты взаимодействия, т.е. учесть один из видов нелинейности. Для определения коэффициентов при взаимодействии факторов, как будет показано далее, пользуются правилом умножения столбцов матрицы планирования.
Однако из ПФЭ нельзя извлечь информацию о квадратичных членах. Нетрудно убедиться, что вектор - столбцы для квадратичных членов (хj)2 будут совпадать между собой. Легко доказать, что оценка коэффициента b0 оказывается смешанной и справедливо соотношение
(4.25)
Выражение (4.25) означает, что коэффициент b0 содержит эффекты, обусловленные как свободным членом bо, так и квадратичными членами bjj (j = 1,.... k).
Для оценок других коэффициентов справедливы соотношения
(4.26)
Планирование ПФЭ и его выполнение.
Планирование ПФЭ с любым числом факторов k сводится к записи в матрицу всех неповторяющихся сочетаний уровней этих факторов. Чтобы сделать это быстро и безошибочно, рекомендуется такой прием (при варьировании факторов на двух уровнях) - записать числа от нуля до значения (2k - 1) в двоичной системе счисления, а затем цифре "нуль" поставить в соответствие знак "минус", а цифре "единица" —знак "плюс".
Нулевые уровни факторов xj0 выбирают обычно равными номинальным (средним) значениям, а интервалы варьирования lj — равными допускам (предельным отклонениям) соответствующих первичных параметров хj. Для первичных параметров приборов и технологических процессов обычно имеет место условие:
где Dxi, — отклонение (допуск) j-го первичного параметра от его номинального значения. Поэтому в большинстве практических случаев даже линейная часть модели вида (4.19) оказывается пригодной для дальнейшего инженерного анализа объектов исследования.
Если линейная модель (линейная часть модели), оказывается непригодной, то ее дополняют членами вида 
(j,l=1,…k; j¹l),, причем в модель включают наиболее значимые эффекты и снова проверяют пригодность модели.
Любой эксперимент сопровождается погрешностями (ошибками воспроизводимости). Для оценки воспроизводимости осуществляют параллельные опыты, т.е. каждый i-й опыт матрицы планирования выполняют в конечном итоге несколько раз. Число серий n характеризует параллельность опытов матрицы планирования. Каждая серия должна включать N неповторяющихся опытов матрицы планирования. Число параллельных опытов, а следовательно, и число серий опытов n рекомендуется выбирать из условия n> 2-5.
Отметим, что оценка воспроизводимости опытов по сути сводится к расчету так называемой дисперсии воспроизводимости. Если эта дисперсия известна априорно или же каким-либо способом может быть оценена до проведения эксперимента, то параллельные опыты не обязательны.
С целью уменьшения влияния детерминированных факторов при реализации плана ПФЭ проводят так называемую рандомизацию, т.е. опыты каждой серии выполняют не по порядку, как они записаны в матрице планирования, а в случайной последовательности. Случайная последовательность опытов каждой серии должна выбираться по таблицам случайных чисел. Делается это следующим образом. Выбирается произвольный фрагмент (участок) таблицы случайных чисел и последовательно просматриваются его строки или столбцы с любого места. Последовательность (очередность) проведения опытов назначается в соответствии с очередностью появления чисел 1,..., N при просмотре участка таблицы. Числа, большие по значению, чем номера опытов, пропускаются. Повторяющиеся числа учитываются лишь первый раз, а далее также пропускаются. Рассмотрим примеры [ 24].
Пример 4. 1. В качестве первичных параметров при исследовании технологического процесса термокомпрессионной сварки можно принять температуру, время сварки и давление инструмента (табл. 5). Выходным параметром является прочность соединения (усилие на разрыв).
Определить 
и 
по результатам первого опыта и оценить воспроизводимость всего эксперимента (см. табл. 6). Найти функцию связи (уравнение регрессии) для числовых значений, приведенных в табл. 6.
Решение. На основании формул 
и 
имеем
;
.
Воспроизводимость эксперимента определим по формуле
:
.
Полученное значение 
сравнивают с табличным, которое определяют для выбранных уровня значимости 
(обычно 
), числа дублированных строк матрицы 
и числа степеней свободы 
. Для указанных значений 
. Если 
, то эксперимент воспроизводим и величину
можно считать оценкой генеральной совокупности.
Если 
то эксперимент невоспроизводим. В этом случае надо увеличить число параллельных опытов или сузить интервалы варьирования, а центр плана перенести в точку с наилучшим результатом.
Уравнение регрессии примем в виде неполного квадратичного полинома 
. Коэффициенты уравнения определим по формулам:
;
.
В результате уравнение регрессии примет следующий вид:
|
Значимость коэффициентов оценим по критерию Стьюдента, который вычисляют для каждого коэффициента:
|
(8)
Полученное значение сравним с табличным, которое определяют для выбранного уровня значимости (обычно 
) и числа степеней свободы 
или 
. При указанных значениях 
. По формуле (8) вычислим
.
Остальные значения критерия Стьюдента вычисляют аналогично:
Соответствующие коэффициенты считаются значимыми, если 
. Следовательно, коэффициенты 
с вероятностью 0,95 значимы, а остальные незначимы.
Тогда уравнение регрессии будет иметь следующий вид:
 |
Адекватность полученной модели оценивают по критерию Фишера в такой последовательности.
Дисперсия адекватности
, (9) где 
— значение выходного параметра для 
-й строки матрицы, рассчитанное на основании полученной модели; 
— число значимых членов модели.
По данным табл. 6,
.
|
Критерий Фишера
.
Табличное значение критерия Фишера для заданного уровня значимости и степеней свободы будет
.
Так как 
, то модель адекватна.
Если 
, гипотеза об адекватности модели отвергается. В этом случае необходимо перейти к более сложному виду модели, например, к полному квадратичному полиному, или уменьшить шаги варьирования факторов.
Полученная экспериментально-статистическая модель позволяет с вероятностью 0,95 утверждать, что на прочность термокомпрессионного соединения влияют температура и давление инструмента. Влияние времени сварки и всех взаимодействий в заданном интервале изменения первичных факторов незначительно.
Пример 4.2. Построить модель процесса ультразвуковой сварки деталей, изготовленных из никелевой ленты шириной 
и стальной ленты сечением 
. Сварка осуществлялась на установке мощностью 
с магнитострикционным преобразователем из никеля. Сварочный наконечник изготавливался из быстрорежущей стали 
(
) в виде конуса, диаметр рабочей части которого равен 
. Колебания в зону сварки вводились со стороны стальной ленты.
Решение. Прочность соединений при ультразвуковой сварке 
зависит от выбора основных технологических режимов: амплитуды сварочного наконечника — электрода 
, усилия сжатия деталей 
и времени воздействия колебаний 
На основании априорных сведений выбираем для заданной пары материалов уровни значений параметров 
и интервалы их изменения (табл. 7).
Все возможные варианты для трех параметров режима сварки были апробированы в 23 экспериментах по матрице, представленной в табл. 8. В каждой точке ставились три параллельных опыта и по ним определялись средние значения прочности на срез.
|
При помощи уравнений 
и (4) определялись коэффициенты уравнения регрессии и оценивалась их значимость. Так как незначимым оказался только коэффициент 
, то линейное уравнение регрессии имеет вид
|
.
Подтверждение гипотезы адекватности модели реальному процессу по критерию Фишера 
позволяет перейти к крутому восхождению до получения наилучшего результата. Шаг движения 
для всех переменных несколько уменьшаем, чтобы за один опыт не пройти оптимум (табл. 9). Новый основной уровень выбираем из серии ПФЭ, где выходной параметр максимален.
|
|
От основного уровня начинаем шаговое движение к оптимуму (табл.10), проводя мысленные и реальные опыты. После второго опыта полученная линейная модель оказывается неадекватной. Возвращаемся в точку, в которой был получен максимальный реальный выход процесса, и в окрестности ее реализуем новую серию ПФЭ (табл. 11). Расчеты, проведенные по результатам новой серии опытов, показывают, что линейные эффекты снижаются, возрастают эффекты взаимодействия, а линейная модель неадекватно описывает технологический процесс 
. Это позволяет сделать вывод о том, что мы приблизились к почти стационарной области. Для изучения этой области применяем центральное
|
|
композиционное ортогональное планирование, матрица которого получена добавлением к матрице ПФЭ (последней) нескольких специально спланированных экспериментальных точек (табл. 12).
В результате обработки матрицы ортогонального планирования при помощи соотношений , 
, (5), (6), (7) получаем уравнение второго порядка, связывающее прочность соединений и режимы сварки:
(10)
Полученная экспериментально-статистическая модель позволяет с вероятностью 0,95 утверждать, что на прочность соединений при ультразвуковой сварке влияет амплитуда сварочного наконечника — электрода. Влияние остальных факторов и их взаимодействий незначительно.
Переход от кодированных значений к натуральным величинам проводится при помощи уравнения (2).
| ГЛАВА 5. ОЦЕНКА СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. |
