Разложим R(x) в окрестности точки, подозреваемой на экстремум
x0= col( )
X0 удовлетворяет необходимым условиям существования R, тогда
(3)
Из выражения (3) следует, то что, если пренебречь членами порядка малости выше 2-го знака приращения «±» определяется всеми производными 2-ого порядка, включая и смешанные. Частные производные вычисляются в т. и их можно рассматривать как константы, поэтому необязательно требовать малости :
,
обозначим
Если при любых и , кроме , Z2>0, а в точке 1 Z2=0, то Z2 положительно определена и в точке экстремума будет иметь минимум >0. Для положительной определенности квадратичной формы Z2 необходимо и достаточно чтобы все определители состояли из элементов и были положительны.
, тогда Х0 – доставляет min .