Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргу­менты тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

, ,

следовательно,

.

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. 7.3):

. (2)

Определим положение точки М на траектории.

Подставим время t₁ = 1 с в уравнения движения:

;

.

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

При t = 1 c:

см/с, см/с, см/с, (3)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

При t = 1 c:

см/с²; см/с²; см/с² (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

и

. (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выраже­ния (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t₁ =1 с, см/с².

5. Нормальное ускорение точки: . Подставляя сюда найденные числовые значения а₁, и а_1τ получим, что при t₁= 1 c, см/с².

6. Радиус кривизны траектории: . Подставляя сюда числовые значения v₁ и а_1п,найдем, что при t₁ = 1 с ρ₁ = 3,05 см.

Ответ: v₁ = 1,33 см/с; а₁ = 0,88 см/с²; а_1τ = 0,66 см/с²; а_1п =0,58 см/с²; ρ₁ = 3,05 см.