Число степеней свободы и класс механизма

В строении самых различных механизмов существуют общие закономерности, связывающие число степеней свободы механизма с числом звеньев и числом и видом кинематических пар в составе механизма.

Обозначим через n число подвижных звеньев механизма. Число одно-, двух-, трёх-, четырёх- и пятиподвижных кинематических пар обозначим через p ₁, p ₂, p ₃, p ₄и p ₅, соответственно. Шесть степеней свободы твёрдого тела в пространстве можно рассматривать как шесть независимых координат, определяющих его положение (например, три координаты начала подвижной системы координат, связанной с телом, и три угла Эйлера, определяющие расположение осей подвижной системы координат относительно неподвижной). Если все подвижные звенья механизма были бы свободными телами, то общее число степеней свободы такой системы было бы равно W = 6 × n. Однако каждая одно- подвижная пара налагает на относительное движение звеньев, образующих пару, 5 связей, каждая двухподвижная - 4 связи, каждая трёхподвижная - 3 связи и т.д. Следовательно, число степеней свободы пространственного механизма определяется формулой

W = 6 n - ( 5 p ₁ + 4 p ₂ + 3 p ₃ + 2 p ₄ +p ₅ ). (2.1)

Формула (2.1) называется структурной формулой Малышева для пространственных механизмов без избыточных связей.

В механизмах широкое применение нашли плоские кинематические цепи, которые содержат только одно- и двухподвижные кинематические пары. Пары с большим числом степеней свободы тоже могут входить в плоские цепи, но при этом каждая из них будет работать как одно- или двухподвижная.

Для плоских механизмов число степеней свободы определяется формулой Чебышева:

W = 3 n - 2 p ₁ - p ₂, (2.2)

где n - число подвижных звеньев механизма,

p ₁и p ₂- число одно- и двухподвижных кинематических пар механизма.

Вывод формулы Чебышева аналогичен выводу формулы Малышева.

Число степеней свободы механизма показывает, сколько входных звеньев имеет данный механизм.

В практике широко применяются плоские механизмы с одной степенью свободы и значительно реже - с двумя и более.

Рассмотрим примеры определения числа степеней свободы механизмов.