Пусть существует , непрерывная на
.
По формуле Тейлора: .
Интегрируя, получаем:
(60)
Обозначим .
Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид:
если непрерывна и
- интегрируема, то
, где
.
Пусть . Имеем
.
(61)
Пусть . Имеем
и оценка для
будет того же вида (61).
Таким образом, (61) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.
Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.
Пусть существует . По формуле Тейлора имеем:
.
Интегрируя, получаем
Так как, , то
. Отсюда следует оценка
(62)
Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток разбить точками
,
,
на частичные промежутки, к каждому из которых применяется формула прямоугольников
,
,
(63)
Суммируя по , получаем обобщенную формулу прямоугольников.
(64)
при - формула левых прямоугольников,
при - формула правых прямоугольников,
при - формула средних прямоугольников.
Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (61) или (62) соответственно.
При ,
:
|
|
(65)
При :
Из оценок (65) следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая достаточно малым) можно получить результат с необходимой точностью.