Задачи на нелинейное программирование

Вариант 1 Задача о почтовой рассылке

Посылка, которую должны отправить по почте, имеет форму прямоугольника с размерами x₁, x₂, x₃. При отправлении посылки накладываются следующие ограничения: x₁<=120, x₂<=11, x₃ <= 42 и x₁+x₂+2x₃<=72. Найдите размеры, при которых объем будет максимальным. (Это модифицированная Розенброком задача о почтовой рассылке).

Вариант 2. План выпуска мебели

Предприятие может выпускать два вида корпусной мебели. На их изготовление идет древесина трех видов. Запасы древесины на предприятии, нормы их расхода a_ij (i=1,2,3; j=1,2), себестоимость с_j и оптовые цены указаны в табл.№1. Из-за брака в процессе производства расход древесины зависит от объема x_j производства изделий и в первом приближении выражается линейной функцией a_ij + x_j, а себестоимость продукции - функцией c_j + 0,1x_j. Изделия могут выпускаться в любых соотношениях, так как сбыт обеспечен. Предприятие обязано с целью изучения спроса населения выпустить не менее двух комплектов каждого вида мебели. Составить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Таблица 1.

Порода	Запас сырья, м3	Нормы расхода на изделие вида
Сосна
Береза
Дуб
Себестоимость, млн. руб
Цена, млн. руб.

Вариант 3. Распределение топлива в силовых установках.

Каждый из двух электрических генераторов может работать на жидком топливе и газе или в любом их сочетании. Суммарная мощность, развиваемая обоими генераторами, должна составлять 50 МВт. Потребление газа ограничено 10 ед./ч. Желательно выбрать схему работы каждого генератора так, чтобы минимизировать потребление жидкого топлива.

Согласно кривой, отражающей эксплуатационные характеристики генератора 1, затраты топлива на обеспечение выходной мощности х₁ МВт составляют

w₁ = 1.4609 + 0.15186x₁ + 0.00145x₁², (1)

w₂ = 1.5742 + 0.1631x₁ + 0.001358x₁², (2)

где w₁ и w₂ - затраты жидкого топлива и газа в час соответственно.

Аналогично для генератора 2 затраты топлива на обеспечение выходной мощности х₂ МВт составляют

у₁ = 0.8008 + 0.2031х₂ + 0.000916х₂², (3)

у₂ = 0.7266 + 0.2256х₂ + 0.000778х₂², (4)

где у₁ и у₂ - затраты жидкого топлива и газа в час соответственно.

По эксплуатационным характеристикам генераторов х₁ может изменяться в диапазоне

18 х₁ 30, (5)

а х₂ - в диапазоне

14 х₂ 25, (6)

Вариант 4. Задача о нахождении размеров коробки

Открытая коробка, изготовляемая из тонкого листа железа, имеет высоту z и прямоугольное основание с размерами x и y. Основание и стороны имеют толщину, равную d (малая величина), а стороны длиной y имеют толщину 2d.

1. Если количество материала фиксировано, то покажите, что объем коробки максимален при x=2y=4z.
2. Определите размеры коробки, если в ней должны находиться шесть лежащих на основании коробки шара, максимально заполняющие внутренний объем. При этом, диаметр шара должен быть в полтора раза меньше z.
3. Найдите размеры коробки, при котором объем ее будет максимален при x=120, y<=11, z <= 42 и x₁+x₂+2x₃<=72.

Вариант 5.Оптимальное проектирование щита люка

Ставится задача оптимального проектирования щита люка. Отверстие прямоугольной формы шириной l₀=600 см должно быть покрыто полыми брусками из алюминия длиной l₀ и шириной в 6 см. Покрытие должно выдерживать максимальную удельную нагрузку до 1000 кг/м³. Критерием оптимальности является масса щита на единицу длины. В качестве конструктивных параметров следует использовать толщину стенок и высоту бруска.

Приняты также следующие предположения:

1. Коэффициент Пуассона у алюминия v=0,3;
2. Алюминий обладает линейной упругостью с модулем Юнга E=7*10⁵ кг/см²
3. Остаточная деформация должна отсутствовать.

При построении модели формируются следующие ограничения:

1) На максимальное касательное напряжение t_max. Полагаем, что максимум поперечной силы Q = 1800 кг

2) На максимальное изгибающее напряжение s_bmax. На основе предварительного анализа конструкции получен максимальный изгибающий момент M = 2,7*10₄кг/см.

3) На максимальный прогиб d_maxpl₀, где p=0,025. Величина прогиба определяется по формуле

где q₁=q₀b, и для величины I принята аппроксимация

4) На изгибающее напряжение в стенках. Изгибающее напряжение в стенках выражается формулой

В результате задача оптимального проектирования формируется с учетом следующих ограничений:

;
;
;
;
h >= 0; t_f >= 0;

r = 2700 (плотность металла) кг/м³

Вариант 6. Задача о нахождении размеров балки.

Задана строительная конструкция, состоящая из балки А и жесткой опоры В. Балка А крепится на жесткой опоре В с помощью сварного соединения. Балка изготавливается из стали и должна выдержать нагрузку F = 2721,5 кг. Размеры балки, толщина, ширина сварного шва, а также марка стали выбираются таким образом, чтобы полные затраты были минимальными.

Рисунок 1 - Нагруженная балка.

Система состоит из балки А и сварного шва, необходимого для крепления балки к опоре В. Независимыми, или управляемыми, переменными служат размеры:

x=(x₁, x₂, x₃, x₄)= (h, l, t, b)
х₁= h - ширина сварного шва;
x₂= l - глубина заделки балки;
x₃= t - высота балки;
x₄= b - ширина балки;

Длина балки предполагается равной 35,56 см. Характеристическим показателем качества проекта служат затраты на построение сварной группы. Основными стоимостными характеристиками такой группы являются С₁ затраты на сварочные работы и С₂ стоимость материалов, т. е.

Затраты на сварочные работы C₁. Сварка будет проводиться аппаратом, при использовании которого полные расходы составляют 10 долл./ч. Сварочный аппарат накладывает один кубический дюйм сварочного шва за 6 мин.

Стоимость материалов С₂. С₂=С₃V_w+C_4[K]V_B,

где С₃=стоимость/объем сварного шва =(0,37*0,283)*163.87(долл./мм³);

С₄=стоимость/объем балки = (0,17*0,283)*163,87(долл./мм³);

V_w= объем балки А

V_w=2(1/2h²l)=h²l, V_B=tb(L+l).