Расчет надежности с использованием математической логики

Расчет надежности сложного изделия – есть определение необходимости сложного высказывания.

Например, высказывание «изделие находится в работоспособном состоянии, если в таком же состоянии находится элемент а и один из следующих элементов: в или d или оба элемента вместе взятых». На языке математической логики это можно записать:

С=а Λ [b v d v (b Λ d]=a Λ (b v d),

здесь «и» обозначена -Λ – конъюнкция

«или» - V – дизъюнкция.

С – событие изделие работоспособно.

Из примера видно, что использование аппарата математической логики позволяет формализовать условие работоспособности сложных структур и получать формулы для расчета надежности. Для этого рассмотрим самые необходимые шесть положений математической логики:

1.

а

а

b

изделие работоспособно (событие с), если работоспособен его элемент.

	a		b

2. изделие работоспособно, если

работоспособны элементы а и b.

3. -инвертор а – работоспособный элемент

а – неработоспособный элемент.

4. сложную логическую функцию можно проанализировать, для этого рекомендуется следующие формулы:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

9.

Формула 9 используется тогда, когда все остальные формулы не позволяют исключить повторяющие члены:

Пример: исключить повторение членов а и с функции работоспособности F_Л, если дана структурная схема расчета (рис. 3.1 б)

d

a b c

e

a)

c

b

a

c

d

Применение формул (1-8) поставленную задачу не решает. Поэтому используем формулу 9 –формулу разложения логической функции по а:

б)

Рис.3.1

-соответствует исходная схема (рис.3.1 а), у которой вместо элемента a- короткое замыкание (рис. 3.2а)

- соответствует исходная схема (рис.3.1), у которой вместо элемента a- обрыв (рис. 3.2б)

d
b c d

e с

Рис 3.2а Рис 3.2б (а – обрыв)

Структурная схема расчета надежности тракта изображена на рис. 3.2 в, где а=а·с для верхней цепи схемы.

Рис. 3.2 в

Логические функции можно перевести в функции алгебраические, если заменить все логические операции арифметическими по следующим правилам:

; ;

Последовательность расчета надежности

Чтобы получить формулу для вероятности работоспособного состояния сложного изделия. Необходимо:

1. Сформулировать словесно условие работоспособности изделия и на его основании заменить логическую функцию работоспособности F_Л;

2. Преобразовать в случае необходимости логическую функцию работоспособности (минимизировать, исключить повторяющиеся члены);

3. В логической функции работоспособности заменить логические операции арифметическими, т.е. получить Fa;

4. В арифметической функции работоспособность заменить простые события (простые высказывания) их вероятностями;

5. В полученную формулу проставим числовые значения вероятностей состояния элементов и определим вероятность РС состояния сложного изделия.

Пример: определить вероятность РС состояния тракта передачи данных

(рис. 3.3) при условии, что вероятности работоспособных состояний каналов а, b, d, e, равны 0,9, а канала – с - 0,8:

1. Словесная формулировка

минимально необходимых условий РС тракта: тракт РС, если РС каналы а и d, или а, с и е, или каналы b, c, d, или b и е.

Рис. 3.3

Логическая функция РС

2. Разложим функцию F_Л с целью исключения повторяющихся членов:

Упростим выражение в первых фигурных скобках

Окончательно функция работоспособности имеет следующий вид:

3. Заменим логические операции арифметическими:

4. заменим события a, b, c, d их вероятностями и определим числовое значение вероятности РС состояния тракта (Р_с =0,8; Р_а = Р_в = Р_d =0,9):

Расчет надежности с использованием формулы полной вероятности

В теории вероятности решается такая задача. События В зависит от того, какое частное состояние принимает событие А.

Событие А может принимать состояние А₁, А₂, А₃, …А_n, которые являются несовместимыми (т.е. не могут возникнуть одновременно два состояния: А₁ и А₂ и т.д.).

Если известны условия вероятности Р(В/А_i) и вероятности Р(Аi), то полная вероятность события В равна

Пример: определить Кг комплекса с учетом надежности блока сопряжения, если комплекс состоит их двух машин и

1) блок сопряжения их исправен (машины работают в режиме резервирования);

2 блок сопряжения их неисправен (машины работают в автономном режиме). Коэффициент блока сопряжения Кг (БС)=0,95, одной машины Кг (М)=0,9; комплекса Кг (Р), работающего в режиме резервирования, равен 0,99.

Коэффициент готовности Кг комплекса с учетом надежности блока сопряжения

Кг=Кг (БС)Кг (Р)+[1-Кг(БС)] Кг (м)=0,95х0,99+0,05х0,9=0,9855