Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Во многих задачах приходится находить вероятность совмещения событий А и В, если известны вероятности событий А и В.

Рассмотрим следующий пример. Пусть брошены две монеты. Найдем вероятность появления двух гербов. Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных исхода, образующих полную группу:

	1-я монета	2-я монета
1-й исход	герб	герб
2-й исход	герб	надпись
3-й исход	надпись	герб
4-й исход	надпись	надпись

Таким образом, P(герб,герб)=1/4.

Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность того, что герб появится на обеих монетах? Так как на первой монете выпал герб, то теперь полная группа состоит из двух равновероятных несовместных исходов:

	1-я монета	2-я монета
1-й исход	герб	герб
2-й исход	герб	надпись

При этом только один из исходов благоприятствует событию (герб, герб). Поэтому при сделанных предположениях Р(герб,герб)=1/2. Обозначим через А появление двух гербов, а через В — появление герба на первой монете. Мы видим, что вероятность события А изменилась, когда стало известно, что событие B произошло.

Новую вероятность события А, в предположении, что произошло событие B, будем обозначать PB(А).

Таким образом, Р(A)=1/4; PB(А)=1/2

Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)PA(B)

(4)

Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2,..., ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает

; ;

Таким образом,

Поменяв местами A и B, аналогично получим

(5)

Из формул (4) и (5) имеем

(6)

Теорема умножения легко обобщается на любое, конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A1, A2, A3 имеем *

В общем случае

(7)

Введем теперь следующее определение.
Два события A и B называются независимыми, если предположение о том, что произошло одно из них, не изменяет вероятность другого, т. е. если

и

(8)

Из соотношения (6) вытекает, что из двух равенств (8) одно является следствием другого.

Пусть, например, событие A — появление герба при однократном брссании монеты, а событие B — появление карты бубновой масти при вынимании карты из колоды. Очевидно, что события A и B независимы.

В случае независимости событий A к B формула (4) примет более простой вид:

(9)

т. е. вероятность совмещения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

События А1, А2,..., Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не меняет своего значения после того, как одно или несколько из остальных событий осуществились.

Исходя из этого определения, в случае независимости событий А1, А2,..., Аn между собой в совокупности на основании формулы (7) имеем

(10)

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

)(/)()/()(APABPABPBPA ==

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

)()()/()()(BPAPABPAPABPA ==

Также можно записать:)()()/()()/()()(APBPBAPBPABPAPABPB ===

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Если события независимые, то ()/(BPABP =, и теорема умножения вероятностей принимает вид:

)()()(BPAPABP =

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

).../().../()/()()...(12121312121−= nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

nqqqAP...1)(21−=

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий nAAA,...,,21.

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.