Пусть и
в окрестности точки а, тогда функция
называется бесконечно большой функцией. Обозначается
.
Если функция f(x) - бесконечно большая и f(x)¹ 0 в окрестности точки а, то - бесконечно малая функция. Условные обозначения:
.
Как понимать х ® + ¥, х ® - ¥ и х ® ¥? Будем говорить, что х ® + ¥, если х может стать больше любого наперед заданного числа, х ® - ¥, если х может стать меньше любого наперед заданного числа, х ® ¥, если абсолютная величина х может стать больше любого наперед заданного числа.
Например, .
Свойства пределов:
1. Предел суммы функций, состоящий из конечного числа слагаемых, равен сумме пределов.
2. Предел произведения равен произведению пределов.
3. Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя неравен нулю.
Например, если и
, то
а) ;
б) ;
в) .
Неопределенности. Неопределенность
Рассмотрим вычисление . Подставим вместо х предельное значение 1:
. Эта ситуация называется неопределенностью
. Для того, чтобы вычислить
, разложим знаменатель на множители
|
|
х2-1=(х-1)*(х+1), и подставим в выражение .
Рассмотрим вычисление . При стремлении х к бесконечности, многочлены в числителе и знаменателе стремятся к бесконечности, и возникает неопределенность вида
. Для того, чтобы вычислить
, вынесем х2 в числителе и знаменателе за скобки
=
.