Вероятностные характеристики обнаружения

В задачах обнаружения анализируется реализация входного сигнала

y(t) = s(t) + x(t),

где s(t) – полезная составляющая, x(t) – помеха,

на предмет наличия или отсутствия в нем полезной составляющей, несущей информацию.

Обозначим для краткости реализацию y(t) через y и будем считать, что вероятность присутствия полезного сигнала s(t) в реализации равна P(s/y), а вероятность его отсутствия P(0/y). Эти вероятности называют апостериорными условными вероятностями наличия и отсутствия полезного сигнала в реализации.

Вероятности P(s) и P(0) являются априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала в реализации.

Эти вероятности связывает равенство

,

где P(y) – вероятность получения реализации y, из которого следует, что

. (5.1)

Аналогично получаем

. (5.2)

Справедливы равенства:

P(s) + P(0) = 1;

P(s/y) + P(0/y) = 1. (5.3)

Разделив (4.1) на (4.2) получим

. (5.4)

Величину L_a называют абсолютным, или обобщенным, отношением правдоподобия. Она важна в теории статистических решений. Поскольку из (5.4) следует, что

, (5.5)

то можно сделать вывод, что L_a полностью определяет вероятность наличия (и отсутствия) сигнала в реализации.

Величину отношения

(5.6)

называют отношением правдоподобия, которая не зависит от априорных вероятностей P(s) и P(0), часто не известных на практике.

Принятие любого решения сопровождается ошибками. В задачах обнаружения возможны ошибки двух типов. Первая, называемая ошибкой ложной тревоги, возникает тогда, когда при отсутствии сигнала принимается решение «Да» (что сигнал есть). Вторая, - когда при наличии сигнала выдается решение «Нет» (сигнал отсутствует). Эту ошибку называют ошибкой пропуска сигнала.

Обозначим событие, заключающиеся в принятии решения «Да», через g_s, а событие, сводящиеся к решению «Нет», - через g₀. Тогда вероятности появления ошибок первого и второго типов можно обозначить как P(g_s/0)=P_лт и P(g₀/s)=P_прп , где P_лт – условная вероятность ложной тревоги, P_прп – условная вероятность пропуска сигнала.

С учетом (5.3), можно определить условную вероятность правильного обнаружения

P_обн =1 – P_прп (5.7)

и условную вероятность правильного необнаружения

P_пн = 1 – P_лт. (5.8)

Чем меньше значения P_лт и P_прп, тем выше качество системы обнаружения. В математической статистике величину P_лт называют уровнем значимости, а величину P_обн – мощностью решения.

Безусловные (абсолютные) вероятности правильных и ошибочных решений равны:

; ;

; ; (5.9)

Вероятность появления любой ошибки вне зависимости от ее характера

P_ошб = P₀P_лт+P_sP_прп, (5.10)

где P₀ = P(0), P_s = P(s).

Существует еще одна, более общая (более универсальная) характеристика – так называемый средний риск Ri. Ее находят следующим образом. Вводят плату П_s0 за ошибку типа ложной тревоги (в виде некоторого положительного коэффициента). Положительный последствия правильного необнаружения (т.е. некоторый «выигрыш») оценивают отрицательным коэффициентом (отрицательной «платой») П₀. Величину

ri₀ = П_s0P_лт + П₀₀P_пн (5.11)

в теории статистических решений называют условным риском, соответствующим условию отсутствия сигнала.

Аналогичным образом получаем условный риск, соответствующий присутствию сигнала в У,

ri_s = П_0sP_прп + П_ssP_обн, (5.12)

где П_0s – положительный коэффициент, «плата» за ошибку пропуска сигнала;

П_ss – отрицательный коэффициент, «выигрыш» за правильное обнаружение.

Сумму условных рисков, взвешенных с априорными вероятностями P_s и P₀, называют средним риском

Ri₀ = P₀ ri₀ + P_s ri_s. (5.13)

Очевидно, что из нескольких систем обнаружения лучше та, которая обеспечивает меньший риск Ri.