Конверсия финансовых рент

В практике встречаются случаи, когда члены потока платежей изменяются в течение срока ренты. Изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка, а иногда и случайными факторами.

Поток последовательных платежей, члены которого не являются постоянными величинами, называется переменной рентой. Изменение величины платежей может быть описано каким-либо законом или носить нерегулярный характер. При этом определяются параметры следующих видов рент:

а) ренты с разовыми изменениями платежей:

Наращенная сумма годовой ренты

, (5.1)

где – коэффициент наращения годовой ренты.

Современная величина годовой ренты

, (5.2)

где – коэффициент приведения годовой ренты;

– дисконтный множитель по ставке i;

n – срок ренты, n = n₁ + n₂ +…+ n_к;

n₁, n₂, …, n_к – продолжительность временных отрезков;

R₁, R₂, …, R_к - годовой платеж в соответствующем временном отрезке;

i₁, i₂, …, i_к – процентные ставки.

Если платежи вносятся несколько раз в году, то коэффициенты наращения () или приведения () рассчитываются как для p -срочной ренты.

б) ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов:

Наращенная сумма переменной ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов составит:

, (5.3)

где d – разность арифметической прогрессии (величина абсолютного годового изменения членов ренты с соответствующим знаком),

R – первый член ренты.

Современная величина данной ренты составит:

. (5.4)

Зная значение постоянного прироста d, процентной ставки i, наращенной суммы S или текущей суммы долга A, определяется размер первого платежа R:

; (5.5)

. (5.6)

Величина абсолютного прироста d определяется по формулам:

;

(5.7)

Для переменной p -срочной ренты с постоянным абсолютным приростом платежей наращенная сумма и современная стоимость определяются по формулам:

; (5.8)

. (5.9)

в) ренты с постоянным относительным приростом платежей:

Наращенная сумма и современная стоимость ренты составят:

а) при ежегодных платежах

; (5.10)

, (5.11)

где q – знаменатель прогрессии, т.е. коэффициент роста;

б) при p -срочной ренте

; (5.12)

. (5.13)

Расчеты по коммерческим сделкам могут предусматривать изменение условий оплаты, которое называется конверсией финансовых рент. Простейшими случаями конверсии являются выкуп ренты (замена ренты разовым платежом) и рассрочка платежа (замена разового платежа рентой).

Замена нескольких рент одной, параметры которой надо определить,называется консолидацией рент. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты должна быть равна сумме современных величин консолидируемых рент:

, (5.14)

где А – современная величина консолидированной ренты;

– современная величина q -ой заменяемой ренты, q =1, 2, …, K;

– число консолидируемых рент;

– член q -ой ренты;

и – соответственно продолжительность и процентная ставка q -ой ренты.

Членконсолидированной немедленной ренты определяется по формуле:

, (5.15)

где – коэффициент приведения консолидированной ренты.

Членконсолидированной отсроченной ренты определяется по формуле:

, (5.16)

где – коэффициент приведения отсроченной консолидированной ренты;

t – продолжительность отсрочки, лет;

– процентная ставка консолидированной ренты;

– дисконтный множитель за период t, на который отложена рента.

Срок консолидированной немедленной ренты определяется по формуле:

. (5.17)

Если процентные ставки объединяемых рент и вновь создаваемой равны между собой, т.е. , то

. (5.18)

Замена немедленной ренты на отсроченную, т.е. когда первый платеж по ренте переносится на более поздний срок в t лет. При этом возможны следующие варианты конверсии:

1) общая продолжительность ренты остается прежней, т.е. n₁ = n₂ = n, рентный платеж составит:

, (5.19)

где и – годовые платежи соответственно первоначальной и отсроченной ренты;

– коэффициент приведения первоначальной годовой ренты;

t - продолжительность отсрочки;

2) общая продолжительность ренты изменяется, т.е. , рентный платеж определяется по формуле:

, (5.20)

где и – коэффициенты приведения соответственно первоначальной и отложенной рент;

3) члены ренты остаются неизменными, т.е. , тогда срок отложенной ренты составит:

Замена годовой ренты на p-срочную. Годовая немедленная рента с параметрами , заменяется на p -срочную с параметрами , , p. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

, (5.21)

где – коэффициент приведения годовой ренты;

– коэффициент приведения p -срочной ренты.

Если , то

. (5.22)

При изменении продолжительности ренты размер нового рентного платежа составит

. (5.23)

При изменении срочности ренты (числа выплат в году) годовой рентный платеж определяется по формуле:

, (5.24)

где и – характеристики срочности двух рент.

Пример 5.1 По условиям контракта платежи вносятся в конце года, первый платеж составляет 2 млн. руб., каждый год его величина возрастает на 200 тыс. руб., срок выплат 4 года, процентная ставка 8%. Определить наращенную сумму.

Решение. Параметры ренты:

руб.; ; ; руб.;

руб.

Пример 5.2 Клиентом получен кредит сроком на 7 лет, при следующих условиях погашения: первый платеж 2 млн. руб., каждый следующий возрастает на 10%, платежи вносятся два раза в году, процентная ставка 8% годовых. Определить размер полученного кредита и сумму долга, подлежащую возврату.

Решение. Параметры ренты:

руб.; ; ; ; .