При решении транспортной задачи всегда полезно проверить, не существует ли очевидного решения. Теоретически было бы желательно использовать для перевозок только наиболее дешевые маршруты. Для обоих заводов Q был бы наиболее предпочтительным поставщиком, так как стоимость перевозки для него ниже, чем для Р. Однако максимальный объем перевозок для Q составляет только 4000 бутылок, тогда как общий спрос равен 8500. Вероятно, наиболее дешевым вариантом было бы использование маршрута из Q в В стоимостью 2 евро за единицу, удовлетворяющее весь спрос завода В (3500). Остаток запаса (500) следует направить из Q в А по стоимости 3 евро за единицу. Остальной спрос завода А следует удовлетворить через поставщика Р, причем стоимость перевозки составит 4 евро за единицу. Общая стоимость транспортировки при таком распределении будет иметь вид:
2 × 3500 + 3 ×500 + 4 × 4500 = 26500 в месяц.
Однако мы не можем доказать, что данное распределение ресурсов является наиболее экономичным. Основные аспекты исследования транспортной модели состоят в следующем: доказательство того, что сформулированная задача имеет решение; обоснование положения о том, что это решение является оптимальным; изучение влияния на полученное решение любых изменений условий задачи.
|
|
Построив соответствующую модель линейного программирования, решим сформулированную выше проблему графическим методом.
Пусть фирма Р поставляет х бутылок для завода А и у бутылок для завода Ч. Тогда для полного удовлетворения спроса фирма должна поставлять оставшиеся (5000 — х) бутылок на завод А и (3500 — у) бутылок на завод В. Цель состоит в минимизации общей стоимости транспортировки С (в пенсах), где
С = 4х + 4у + 3 (5000 - х) + 2 (3500 - у),
следовательно,
С = х + 2 у + 22000,
а целевая функция задачи имеет вид:
Z = С - 22000 = х + 2у.
Z принимает свое минимальное значение тогда, когда С принимает минимальное значение. Значения х и у, которые минимизируют Z, минимизируют также и С. Минимизация целевой функции осуществляется в условиях следующей системы ограничений:
Спрос завода А: х < 5000 бутылок
Спрос завода В: у < 3500 бутылок
Поставки из Р: х + у < 7500 бутылок
Поставки из Q: (5000 - х) + (3500 -у) > 4000 бутылок
т.е.: х + у < 4500 бутылок
х, у > 0
Графическое изображение системы ограничений представлено на рис. 4.1.
Точка с координатами х = 4000, у = 2000 принадлежит допустимому множеству. Значение функции в этой точке
Z = 4000 + 2 х 2000 = 8000 пенсов.
Типичная линия уровня целевой функции имеет вид: 8000 = х + 2у. На рис. 4.1 она изображена пунктиром. Перемещение линии уровня в сторону уменьшения значений целевой функции приводит нас в крайнюю точку А,
|
|
которая является оптимальной.
Рис. 4.1. Задача линейного программирования поставки бутылок
В этой точке х = 4500, а у = 0. Следовательно, оптимальное решение состоит в поставке из Р в А 4500 бутылок, в отсутствии поставок из Р в В, в поставке из Q в А 500 бутылок, а из Q в В — 3500 бутылок. Минимальная стоимость транспортировки для этого решения равна:
Cmin = 4500 + 2×0 + 22000 = 26500 евро
Резервный запас остается только на фирме Р и составляет 3000 единиц. Начиная решать задачу, мы предполагали, что именно это решение минимизирует стоимость перевозки. Теперь мы доказали, что это действительно так.