Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой
W(A)=m/n,
где m — число появлений события, n—общее число испытаний.
Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало {тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
|
|
Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.
Пример 1. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления «герба». Результаты нескольких опытов приведены в табл.
Число бросаний | Число появлений «Г» | Относит.частота |
4 040 | 2 048 | 0,5069 |
12 000 | 6 019 | 0,5016 |
24 000 | 12 012 | 0,5005 |
Относит.частоты незначит. Отклоняются от числа 0,5, причём чем меньше, чем больше число испытаний.
Если учесть, что вер-ть появления «Г» при бросании монеты=0,5, то вновь убеждаемся, что относит. Частота колеблется около вер-ти.
Наиболее слабая сторона классич. Опр-я вер-ти состоит в том, что оч.часто невозможно представить результат испытания в виде сов-ти элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элемент.соб-я равновозможными. Поэтому наряду с классич. Определением вер-ти используют и др. опр-я вер-ти В частности, статистическое: В качестве статистической вер-ти события принимают относит. частоту или число близкое к ней.
Однако и опр-е статистич.вер-ти имеет свои «-«. Например, неоднозначность статистич.вер-ти. Так в рассмотренном примере в кач-ве вер-ти события можно принять не только 0,5, но и 0,5069, и 0,5016 и т.д.
Понятие «геометрическая вер-ть» сост. в след:
Путь в область G бросается наудачу точка. Выражение «бросается наудачу» понимается в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области G. Вер-ть попасть в какую-л. часть области G пропорциональна мере этой части (длина, площадь, объем) и не зависит от ее расположения и формы.
|
|
Т.о. если g – часть области G, то вер-ть попадания в обл-ть g по определению= Р(g)= мера g/мераG. Заметим, что здесь пр-во Ω всех элементарных исходов представляет собой сов-ть всех точек области G и значит состоит из бесконечного множества элементарных событий=>понятие «геом. Вер-ть» можно рассматривать как обобщение понятия «классич. Вер-ть» на случай опытов с бесконечным числом исходов.
Задача о встрече. Реш-е: Обозначим через х и у моменты прихода лиц А и В. Встреча состоится, если |х-у|≤10.
Если изображать х и у как декартовы координаты на пл-ти, то все возможные исходы изобразятся точкой квадрата со сторонами 60.
-10≤у-х≤10
х-10≤у≤10
у=х-10
у=х+10
Задача Бюффона. Реш-е: введём обозначения: х – расстояние от середины иглы до ближайшей параллели;
φ – угол, составляющий этой параллелью с иглой.
Положение иглы полностью опр-ся заданными определенными значениями х и φ. Причем х Є(0;а), φЄ(0;π). Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами а и π.
Т.о. этот прямоугольник можно рассмотреть как фигуру G, точки к-рой представляют собой все возможные положения середины иглы. Очевидно, эта площадь фигуры = πа.
Найдём фигуру g, каждая точка к-рой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка фигуры может служить серединой иглы, к-рая пересекает параллель.
Игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии: х≤l·sinφ
Т.е. если середина иглы попадает в любую из точек фигуры, заштрихованной на рис(2). Т.о. заштрихованную фигуру можно рассматривать как g. Найдём её площадь:
Ответ: 2l/аπ