Выборочную долю можно представить как среднюю арифметическую n альтернативных случайных величин
, т.е.
, где каждая СВ
(k=1,2,…,n) выражает число появлений признака в k-м элементе выборки (т.е. при наличии признака
, при его отсутствии
) и имеет один и тот же закон распределения:
Случайные величины независимы.
Теорема. Выборочная доля повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли
причем ее дисперсия:
, Где q = 1 – p.
☺ Докажем вначале несмещенность оценки w.
Матем-кое ожидание и дисперсия частости события в n независимых испытаниях, в каждом из к-рых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равны соответственно
,
.
Т.к. вер-ть того, что любой отобранный в выборку элемент обладает признаком А, есть генеральная доля р, то из 1 равенства вытекает, что частость или выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р.
Осталось доказать состоятельность оценки , к-ая следует из теоремы Бернулли:
, или
. ☻