2015-01-21
4766
Пусть функция z=f (x,y)определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D произвольным образом на n областей S 1, S 2, …, Sn, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке: 
, 
, которые назовем точками пунктуации. Обозначим через 
- площадь, через 
- диаметр i- ойэлементарной области (i= 1,…, n), 
. Составим выражение
(1)
Выражение (1) называется интегральной суммой Римана для функции z=f (x,y)по области D. Заметим, что она зависит от способа разбиения области D на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел интегральной суммы Римана (1) при 
, и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от выбора точек пунктуации, то он называется двойным интегралом от функции z=f (x,y)по области D и обозначается
Таким образом,
(2)
Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов. Отметим два, наиболее часто используемых на практике, свойства.
|
|
|
1) Свойство линейности. Если функции f (x,y)и g(x,y) интегрируемы по области D, то справедлива формула:
2) Свойство аддитивности. Если область D разбита на две области D 1 и D 2 без общих точек, и функция f (x,y)интегрируема во всех точках области D, то справедлива формула:
Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми 
,причем 
- непрерывны и 
на промежутке [ a,b ](Рис.1).Такую область назовем правильной в направлении оси Oy. Тогда
, (3)
причем сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а полученный результат интегрируется по x.
Рис.1.
Заметим, что если кривая 
(или 
) на промежутке [ a,b ]задается различными аналитическими выражениями, например,
,
то интеграл справа в (3) записывается в виде суммы двух интегралов:
.
Аналогично, пусть область D ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми 
, причем 
непрерывны и 
на промежутке [ c,d ](Рис.2). Такую область назовем правильной в направлении оси Ox. Тогда
(4)
Рис. 2
Теорема (о замене переменных в двойном интеграле)
Пусть выполняются условия:
1) функции x=x (u, v) и y=y (u, v)таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D 1 и наоборот;
2) функции x=x (u, v) и y=y (u, v)имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D 1;
3) функция z=f (x, y) определена и интегрируема в области D.
Тогда справедлива формула:
, (5)
где
- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.
|
|
|
Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:
,
для которых якобиан равен 
и формула (5) примет вид:
(6)
Задание 1. Вычислить повторный интеграл: 
.
Решение. Вычислим сначала интеграл по переменной y (x - параметр). Имеем
.
Полученный интеграл является обычным определенным интегралом. Окончательно имеем
.
Задание 2. Записать данный двойной интеграл в виде повторных, взятых в различных порядках:
,
область интегрирования D ограничена линиями x= 2, y=x, y= 1 /x.
Решение. Построим область интегрирования D (рис.3).
1)По формуле (3) при a= 1, b= 2, 
получаем
.
Рис. 3.
2) Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (4), то надо положить c= 1/2, d= 2, 
, 
.
Тогда
.
Задание 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
.
Решение. Область интегрирования D ограничена снизу кривой
,
сверху кривой
и представлена на рис. 4.
Рис. 4.
Поэтому имеем
.
Задание 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:
.
Решение. Положим
и применим формулу (6). Так как 
, то
.
Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 5).
Рис. 5.
Следовательно, в области D 1 изменяется от 0 до 1 и 
. Таким образом, имеем:
.
