Пусть функции и определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения , для которых выполняется неравенство: > ( < ).
При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным .
Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений.
Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного неравенства.
Множество называется множеством решений данного неравенства.
Решить неравенство – значит найти множество всех , для которых данное неравенство выполняется.
Два неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого.
|
|
Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.
Основные теоремы преобразования неравенства в равносильное ему:
· Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком;
· Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то отличное от нуля положительное число; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный;
· Если неравенство имеет вид или , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений.
Между решениями неравенств и уравнений много общего. Отличие же состоит в том, что решением неравенств чаще всего являются бесконечные множества.
Значит, сделать полную проверку ответа, как это делается для уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении неравенств переходить только к равносильным неравенствам.
К равносильным неравенствам приводят тождественные преобразования, не изменяющие область допустимых значений.
1. Свойства числовых неравенств
пусть , тогда | ||
и | ||
пусть , тогда | ||
2. Решение неравенств, содержащих квадратный трехчлен: . Пусть - дискриминант квадратного трехчлена.
Вид неравенства | |||
Решений нет | |||
Решений нет | |||
Решений нет | Решений нет |
Если неравенство имеет вид меньше (<) или меньше или равно (£), то можно неравенство умножить на (-1) и свести к виду, приведенному в таблице.
|
|