Задача.
Для заданной выборки значений случайной величины и на основе результатов занятий №6 и №7: провести проверку выдвинутой гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью критерия χ2 Пирсона. Для этого:
· вычислить значение критерия χ2набл;
· вычислить количество степеней свободы и по таблице найти значение χ2крит (уровень значимости pкрит принять равным 0.05);
· сделать вывод о соответствии выдвинутой гипотезы рассматриваемой выборке значений случайной величины.
Алгоритм проверки статистической гипотезы о законе распределения случайной величины:
· вычисляются теоретические частоты попадания случайной величины в i-ый интервал
,
где xi, xi+1 – численные значения соответственно левой и правой границы i-го интервала.
· Подсчитываем χ2набл:
· Определяем число степеней свободы r=k-1-s,
где k– число интервалов, s– число параметров эмпирического распределения, использованных при определении теоретического распределения и определяющих число связей между этими распределениями.
|
|
· По значениям уровня значимости pкрит и числа степеней свободы r из таблицы распределения χ2 находим критическое χ2крит и сравниваем с расчетным χ2набл. Если расчетная величина оказывается больше критического табличного значения (для данного уровня вероятности и соответствующего числа степеней свободы), то наблюдаемые частоты значительно отличаются от теоретических и гипотезу следует отвергнуть. В противном случае выдвинутую гипотезу принимаем. Все расчеты по данному разделу следует свести в таблицу.
Вариант А.
Проверяется гипотеза о равномерном законе распределения исследуемой случайной величины
№ интерв | pi* | pi | (pi*-pi)2/pi |
0.092 | 0.083 | 0.001 | |
0.100 | 0.083 | 0.003 | |
0.092 | 0.083 | 0.001 | |
0.083 | 0.083 | 0.000 | |
0.075 | 0.083 | 0.001 | |
0.075 | 0.083 | 0.001 | |
0.100 | 0.083 | 0.003 | |
0.092 | 0.083 | 0.001 | |
0.108 | 0.083 | 0.008 | |
0.075 | 0.083 | 0.001 | |
0.075 | 0.083 | 0.001 | |
0.033 | 0.083 | 0.030 | |
S | 1.00 | 1.00 | 0.05 |
|
c2набл= | 6.00 | |||
c2крит= | 16.90 | |||
Так как c2набл<c2крит, то выдвинутая гипотеза не противоречит экспериментальным данным | ||||
Вариант В.
Проверяется гипотеза о показательном зоконе распределения исследуемой случайной величины
№ интерв | pi* | pi | (pi*-pi)2/pi |
0.458 | 0.436 | 0.001 | |
0.275 | 0.244 | 0.004 | |
0.100 | 0.137 | 0.010 | |
0.058 | 0.077 | 0.004 | |
0.058 | 0.043 | 0.006 | |
0.025 | 0.024 | 0.000 | |
0.008 | 0.013 | 0.002 | |
0.008 | 0.008 | 0.000 | |
0.000 | 0.004 | 0.004 | |
0.000 | 0.002 | 0.002 | |
0.000 | 0.001 | 0.001 | |
0.008 | 0.001 | 0.078 | |
S | 1.00 | 0.99 | 0.11 |
|
|
|
c2набл= | 13.54 |
c2крит= | 18.30 |
Так как c2набл<c2крит, то выдвинутая гипотеза не противоречит экпериментальным данным |
Вариант С
Проверяется гипотеза о нормальном зоконе распределения исследуемой случайной величины
№ интерв | pi* | pi | (pi*-pi)2/pi |
0.008 | 0.008 | 0.000 | |
0.033 | 0.023 | 0.005 | |
0.033 | 0.052 | 0.007 | |
0.108 | 0.098 | 0.001 | |
0.150 | 0.147 | 0.000 | |
0.167 | 0.180 | 0.001 | |
0.217 | 0.177 | 0.009 | |
0.108 | 0.142 | 0.008 | |
0.092 | 0.092 | 0.000 | |
0.058 | 0.048 | 0.002 | |
0.008 | 0.020 | 0.007 | |
0.017 | 0.007 | 0.013 | |
S | 1.00 | 0.99 | 0.05 |
|
c2набл= | 6.39 |
c2крит= | 16.90 |
Так как c2набл<c2крит, то выдвинутая гипотеза не противоречит экпериментальным данным |
Контрольные вопрсы:
1. Мера расхождения теоретического и статистичекого распределений по критерию χ2 Пирсона.
2. Определение значения числа степеней свободы распределения χ2.
3. Схема применения критерия χ2 к оценке согласованности теоретического и статистичекого распределений.
Приложение 1.
Таблица значений функции
x | ||||||||||
0.0 | 0.3989 | 0.3989 | 0.3989 | 0.3988 | 0.3986 | 0.3984 | 0.3982 | 0.3980 | 0.3977 | 0.3973 |
0.1 | 0.3970 | 0.3965 | 0.3961 | 0.3956 | 0.3951 | 0.3945 | 0.3939 | 0.3932 | 0.3925 | 0.3918 |
0.2 | 0.3910 | 0.3902 | 0.3894 | 0.3885 | 0.3876 | 0.3867 | 0.3857 | 0.3847 | 0.3836 | 0.3825 |
0.3 | 0.3814 | 0.3802 | 0.3790 | 0.3778 | 0.3765 | 0.3752 | 0.3739 | 0.3725 | 0.3712 | 0.3697 |
0.4 | 0.3683 | 0.3668 | 0.3653 | 0.3637 | 0.3621 | 0.3605 | 0.3589 | 0.3572 | 0.3555 | 0.3538 |
0.5 | 0.3521 | 0.3503 | 0.3485 | 0.3467 | 0.3448 | 0.3429 | 0.3410 | 0.3391 | 0.3372 | 0.3352 |
0.6 | 0.3332 | 0.3312 | 0.3292 | 0.3271 | 0.3251 | 0.3230 | 0.3209 | 0.3187 | 0.3166 | 0.3144 |
0.7 | 0.3123 | 0.3101 | 0.3079 | 0.3056 | 0.3034 | 0.3011 | 0.2989 | 0.2966 | 0.2943 | 0.2920 |
0.8 | 0.2897 | 0.2874 | 0.2850 | 0.2827 | 0.2803 | 0.2780 | 0.2756 | 0.2732 | 0.2709 | 0.2685 |
0.9 | 0.2661 | 0.2637 | 0.2613 | 0.2589 | 0.2565 | 0.2541 | 0.2516 | 0.2492 | 0.2468 | 0.2444 |
1.0 | 0.2420 | 0.2396 | 0.2371 | 0.2347 | 0.2323 | 0.2299 | 0.2275 | 0.2251 | 0.2227 | 0.2203 |
1.1 | 0.2179 | 0.2155 | 0.2131 | 0.2107 | 0.2083 | 0.2059 | 0.2036 | 0.2012 | 0.1989 | 0.1965 |
1.2 | 0.1942 | 0.1919 | 0.1895 | 0.1872 | 0.1849 | 0.1826 | 0.1804 | 0.1781 | 0.1758 | 0.1736 |
1.3 | 0.1714 | 0.1691 | 0.1669 | 0.1647 | 0.1626 | 0.1604 | 0.1582 | 0.1561 | 0.1539 | 0.1518 |
1.4 | 0.1497 | 0.1476 | 0.1456 | 0.1435 | 0.1415 | 0.1394 | 0.1374 | 0.1354 | 0.1334 | 0.1315 |
1.5 | 0.1295 | 0.1276 | 0.1257 | 0.1238 | 0.1219 | 0.1200 | 0.1182 | 0.1163 | 0.1145 | 0.1127 |
1.6 | 0.1109 | 0.1092 | 0.1074 | 0.1057 | 0.1040 | 0.1023 | 0.1006 | 0.0989 | 0.0973 | 0.0957 |
1.7 | 0.0940 | 0.0925 | 0.0909 | 0.0893 | 0.0878 | 0.0863 | 0.0848 | 0.0833 | 0.0818 | 0.0804 |
1.8 | 0.0790 | 0.0775 | 0.0761 | 0.0748 | 0.0734 | 0.0721 | 0.0707 | 0.0694 | 0.0681 | 0.0669 |
1.9 | 0.0656 | 0.0644 | 0.0632 | 0.0620 | 0.0608 | 0.0596 | 0.0584 | 0.0573 | 0.0562 | 0.0551 |
2.0 | 0.0540 | 0.0529 | 0.0519 | 0.0508 | 0.0498 | 0.0488 | 0.0478 | 0.0468 | 0.0459 | 0.0449 |
2.1 | 0.0440 | 0.0431 | 0.0422 | 0.0413 | 0.0404 | 0.0396 | 0.0387 | 0.0379 | 0.0371 | 0.0363 |
2.2 | 0.0355 | 0.0347 | 0.0339 | 0.0332 | 0.0325 | 0.0317 | 0.0310 | 0.0303 | 0.0297 | 0.0290 |
2.3 | 0.0283 | 0.0277 | 0.0270 | 0.0264 | 0.0258 | 0.0252 | 0.0246 | 0.0241 | 0.0235 | 0.0229 |
2.4 | 0.0224 | 0.0219 | 0.0213 | 0.0208 | 0.0203 | 0.0198 | 0.0194 | 0.0189 | 0.0184 | 0.0180 |
2.5 | 0.0175 | 0.0171 | 0.0167 | 0.0163 | 0.0158 | 0.0154 | 0.0151 | 0.0147 | 0.0143 | 0.0139 |
2.6 | 0.0136 | 0.0132 | 0.0129 | 0.0126 | 0.0122 | 0.0119 | 0.0116 | 0.0113 | 0.0110 | 0.0107 |
2.7 | 0.0104 | 0.0101 | 0.0099 | 0.0096 | 0.0093 | 0.0091 | 0.0088 | 0.0086 | 0.0084 | 0.0081 |
2.8 | 0.0079 | 0.0077 | 0.0075 | 0.0073 | 0.0071 | 0.0069 | 0.0067 | 0.0065 | 0.0063 | 0.0061 |
2.9 | 0.0060 | 0.0058 | 0.0056 | 0.0055 | 0.0053 | 0.0051 | 0.0050 | 0.0048 | 0.0047 | 0.0046 |
3.0 | 0.0044 | 0.0043 | 0.0042 | 0.0040 | 0.0039 | 0.0038 | 0.0037 | 0.0036 | 0.0035 | 0.0034 |
3.1 | 0.0033 | 0.0032 | 0.0031 | 0.0030 | 0.0029 | 0.0028 | 0.0027 | 0.0026 | 0.0025 | 0.0025 |
3.2 | 0.0024 | 0.0023 | 0.0022 | 0.0022 | 0.0021 | 0.0020 | 0.0020 | 0.0019 | 0.0018 | 0.0018 |
3.3 | 0.0017 | 0.0017 | 0.0016 | 0.0016 | 0.0015 | 0.0015 | 0.0014 | 0.0014 | 0.0013 | 0.0013 |
3.4 | 0.0012 | 0.0012 | 0.0012 | 0.0011 | 0.0011 | 0.0010 | 0.0010 | 0.0010 | 0.0009 | 0.0009 |
3.5 | 0.0009 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0006 |
3.6 | 0.0006 | 0.0006 | 0.0006 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0004 |
3.7 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 |
3.8 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 |
3.9 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0002 | 0.0001 | 0.0001 |
Приложение 2.
Таблица значений функции
x | ||||||||||
0.0 | 0.0000 | 0.0040 | 0.0080 | 0.0120 | 0.0160 | 0.0199 | 0.0239 | 0.0279 | 0.0319 | 0.0359 |
0.1 | 0.0398 | 0.0438 | 0.0478 | 0.0517 | 0.0557 | 0.0596 | 0.0636 | 0.0675 | 0.0714 | 0.0753 |
0.2 | 0.0793 | 0.0832 | 0.0871 | 0.0910 | 0.0948 | 0.0987 | 0.1026 | 0.1064 | 0.1103 | 0.1141 |
0.3 | 0.1179 | 0.1217 | 0.1255 | 0.1293 | 0.1331 | 0.1368 | 0.1406 | 0.1443 | 0.1480 | 0.1517 |
0.4 | 0.1554 | 0.1591 | 0.1628 | 0.1664 | 0.1700 | 0.1736 | 0.1772 | 0.1808 | 0.1844 | 0.1879 |
0.5 | 0.1915 | 0.1950 | 0.1985 | 0.2019 | 0.2054 | 0.2088 | 0.2123 | 0.2157 | 0.2190 | 0.2224 |
0.6 | 0.2257 | 0.2291 | 0.2324 | 0.2357 | 0.2389 | 0.2422 | 0.2454 | 0.2486 | 0.2517 | 0.2549 |
0.7 | 0.2580 | 0.2611 | 0.2642 | 0.2673 | 0.2704 | 0.2734 | 0.2764 | 0.2794 | 0.2823 | 0.2852 |
0.8 | 0.2881 | 0.2910 | 0.2939 | 0.2967 | 0.2995 | 0.3023 | 0.3051 | 0.3078 | 0.3106 | 0.3133 |
0.9 | 0.3159 | 0.3186 | 0.3212 | 0.3238 | 0.3264 | 0.3289 | 0.3315 | 0.3340 | 0.3365 | 0.3389 |
1.0 | 0.3413 | 0.3438 | 0.3461 | 0.3485 | 0.3508 | 0.3531 | 0.3554 | 0.3577 | 0.3599 | 0.3621 |
1.1 | 0.3643 | 0.3665 | 0.3686 | 0.3708 | 0.3729 | 0.3749 | 0.3770 | 0.3790 | 0.3810 | 0.3830 |
1.2 | 0.3849 | 0.3869 | 0.3888 | 0.3907 | 0.3925 | 0.3944 | 0.3962 | 0.3980 | 0.3997 | 0.4015 |
1.3 | 0.4032 | 0.4049 | 0.4066 | 0.4082 | 0.4099 | 0.4115 | 0.4131 | 0.4147 | 0.4162 | 0.4177 |
1.4 | 0.4192 | 0.4207 | 0.4222 | 0.4236 | 0.4251 | 0.4265 | 0.4279 | 0.4292 | 0.4306 | 0.4319 |
1.5 | 0.4332 | 0.4345 | 0.4357 | 0.4370 | 0.4382 | 0.4394 | 0.4406 | 0.4418 | 0.4429 | 0.4441 |
1.6 | 0.4452 | 0.4463 | 0.4474 | 0.4484 | 0.4495 | 0.4505 | 0.4515 | 0.4525 | 0.4535 | 0.4545 |
1.7 | 0.4554 | 0.4564 | 0.4573 | 0.4582 | 0.4591 | 0.4599 | 0.4608 | 0.4616 | 0.4625 | 0.4633 |
1.8 | 0.4641 | 0.4649 | 0.4656 | 0.4664 | 0.4671 | 0.4678 | 0.4686 | 0.4693 | 0.4699 | 0.4706 |
1.9 | 0.4713 | 0.4719 | 0.4726 | 0.4732 | 0.4738 | 0.4744 | 0.4750 | 0.4756 | 0.4761 | 0.4767 |
2.0 | 0.4772 | 0.4778 | 0.4783 | 0.4788 | 0.4793 | 0.4798 | 0.4803 | 0.4808 | 0.4812 | 0.4817 |
2.1 | 0.4821 | 0.4826 | 0.4830 | 0.4834 | 0.4838 | 0.4842 | 0.4846 | 0.4850 | 0.4854 | 0.4857 |
2.2 | 0.4861 | 0.4864 | 0.4868 | 0.4871 | 0.4875 | 0.4878 | 0.4881 | 0.4884 | 0.4887 | 0.4890 |
2.3 | 0.4893 | 0.4896 | 0.4898 | 0.4901 | 0.4904 | 0.4906 | 0.4909 | 0.4911 | 0.4913 | 0.4916 |
2.4 | 0.4918 | 0.4920 | 0.4922 | 0.4925 | 0.4927 | 0.4929 | 0.4931 | 0.4932 | 0.4934 | 0.4936 |
2.5 | 0.4938 | 0.4940 | 0.4941 | 0.4943 | 0.4945 | 0.4946 | 0.4948 | 0.4949 | 0.4951 | 0.4952 |
2.6 | 0.4953 | 0.4955 | 0.4956 | 0.4957 | 0.4959 | 0.4960 | 0.4961 | 0.4962 | 0.4963 | 0.4964 |
2.7 | 0.4965 | 0.4966 | 0.4967 | 0.4968 | 0.4969 | 0.4970 | 0.4971 | 0.4972 | 0.4973 | 0.4974 |
2.8 | 0.4974 | 0.4975 | 0.4976 | 0.4977 | 0.4977 | 0.4978 | 0.4979 | 0.4979 | 0.4980 | 0.4981 |
2.9 | 0.4981 | 0.4982 | 0.4982 | 0.4983 | 0.4984 | 0.4984 | 0.4985 | 0.4985 | 0.4986 | 0.4986 |
3.0 | 0.4987 | 0.4987 | 0.4987 | 0.4988 | 0.4988 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4990 | 0.4990 |
3.1 | 0.4990 | 0.4991 | 0.4991 | 0.4991 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4993 | 0.4993 |
3.2 | 0.4993 | 0.4993 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4995 |
3.3 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4997 |
3.4 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4998 |
3.5 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 |
3.6 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 |
3.7 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 |
3.8 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 |
3.9 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 |
Приложение 3.
|
|
Критические точки распределения χ2.
Число степеней свободы r | Уровень значимости pкрит | ||
0.1 | 0.05 | 0.01 | |
2.71 | 3.84 | 6.63 | |
4.61 | 5.99 | 9.21 | |
6.25 | 7.81 | 11.3 | |
7.78 | 9.49 | 13.3 | |
9.24 | 11.1 | 15.1 | |
10.6 | 12.6 | 16.8 | |
12.0 | 14.1 | 18.5 | |
13.4 | 15.5 | 20.1 | |
14.7 | 16.9 | 21.7 | |
16.0 | 18.3 | 23.2 | |
17.3 | 19.7 | 24.7 | |
18.5 | 21.0 | 26.2 | |
19.8 | 22.4 | 27.7 | |
21.1 | 23.7 | 29.1 | |
22.3 | 25.0 | 30.6 | |
23.5 | 26.3 | 32.0 | |
24.8 | 27.6 | 33.4 | |
26.0 | 28.9 | 34.8 | |
27.2 | 30.1 | 36.2 | |
28.4 | 31.4 | 37.6 | |
29.6 | 32.7 | 38.9 | |
30.8 | 33.9 | 40.3 | |
32.0 | 35.2 | 41.6 | |
33.2 | 36.4 | 43.0 | |
34.4 | 37.7 | 44.3 | |
40.3 | 43.8 | 50.9 | |
46.1 | 49.8 | 57.3 | |
51.8 | 55.8 | 63.7 |
Список литературы
|
|
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.–М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.– 1988.– 480 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь. 1983. – 416 с., ил.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебн. пособие для втузов. М., Высш. школа, 1977. 479 с., ил.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебн. пособие для втузов. - М., Высш. школа. - 400 с.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М., Наука. -575 с.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. -М., Наука. - 365 с.
7. Гнеденко В.В., Ханчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. -М., Наука. 1988. - 160 с.
8. Филлер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Пер. с англ. -М., Мир. -1984.
9. Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики. Практикум. Учебн. пособие. Под общ. ред. Ядренко М.И. -К., Вища шк., 1989. -263 с.
10. Коваленкко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебн. пособие для втузов. -М., Высшая шк.
11. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. Учебн. пособие для втузов. -М., Наука. 1989.