Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов в действительной области

Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Апеля: Если степенной ряд сходится при x = x₁ ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно для всех |x|<|x₁|.

Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех |x|>|x₁|.

Свойства:

1.Сумма S(x) степенного ряда

_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ + …

является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R).

2.Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

(1)

при –R<x<R выполняется равенство (2)

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (1) –R<a<x<R выполняется равенство (3)

Ряды (2) и (3) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.