Задачи

1.У людоеда в подвале томятся 25 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин? Порядок важен.

2.У людоеда в подвале томятся 25 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех, чтобы отпустить на свободу?

3.В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

4.Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

5.Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

6.Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

7.Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

8.В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться места?

9.Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

10.В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

11.В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

12.Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

13.В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

14.В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?

15.Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?

16.Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?

17.Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?

18.Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).

19.Сколько различных музыкальных фраз (последовательность звуков) можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторения звуков? (Всего нот на клавиатуре фортепьяно 88).

20.В группе 16 юношей и 14 девушек. Выбирают делегацию из 5 человек. Сколько комбинаций по 3 девушки и 2 юноши можно составить?

21.В мешке лежат 25 красных, 19 синих и 16 зелёных шарфов, одинаковых на ощупь. Сколько комбинаций по 4 красных, 3 синих и 2 зелёных шарфа можно составить?

22. Из 5 лётчиков, 7 штурманов и 5 стюардесс необходимо сформировать экипаж, в который должны войти 2 лётчика, 1 штурман и 3 стюардессы. Сколькими способами это можно сделать?

23.В пачке 30 пронумерованных карточек. Сколько комбинаций по 4 карточки можно составить?

24.Среди 25 участников розыгрыша лотереи находятся 10 девушек. Разыгрывается 5 призов. Сколькими способами в число призеров могут попасть две девушки?

25. В ящике лежат 8 чёрных и 12 синих перчаток. Сколько вариантов комплектов по две черных и две синих перчатки можно составить?

Задачи по вариантам

Номер варианта	Номер задачи

Лабораторная работа № 2

«Классическая формула вероятности»

Вероятностью P(A) события A называется отношение числа благоприятствующих этому событию случаев (исходов опыта) m к числу всех возможных случаев (исходов опыта) n, образующих полную группу несовместных равновозможных событий:

.

Иногда вероятность события А удобно вычислять через вероятность противоположного события :

Если А - вероятность наступления события хотя бы один раз, а

- вероятность не наступления события ни разу, тогда

Задачи

1.Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное число; б) случайно названное число, цифры которого различны.

2.Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится изображение герба.

3.В коробке семь одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу извлекают все кубики по очереди. Найти вероятность того, что номера кубиков появятся в убывающем порядке.

4.В пачке 30 пронумерованных карточек. Наудачу взяли 3 карточки. Какова вероятность того, что взяли карточки с номерами 12, 24, 30?

5.Среди 25 участников розыгрыша лотереи находятся 10 девушек. Разыгрывается 5 призов. Вычислить вероятность того, что обладателями двух призов окажутся девушки.

6.В коробке 4 белых и 5 чёрных футболок. Наугад вытаскивают две футболки. Найти вероятность того, что одна из футболок белая, другая чёрная.

7.При подготовке к зачёту студент выучил 60 из необходимых 90 вопросов. Какова вероятность того, он сдаст зачёт, если для этого нужно ответить не менее чем на два из трёх предложенных вопросов?

8.Из партии, состоящей из 20 плейеров, для проверки произвольно отбирают три плейера. Партия содержит 2 плейера с дефектами. Какова вероятность того, что в число отобранных плейеров попадут только два бракованных плейера?

9.Потребители сдали в ремонт 16 компьютеров. Из них 8 нуждаются в мелком ремонте. Мастер берет 6 компьютеров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в мелком ремонте?

10.В туристической группе 14 женщин и 9 мужчин. Среди них разыгрываются 6 билетов на бесплатное посещение театра. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три женщины и трое мужчин?

11.В ящике лежат 6 чёрных и 6 синих перчаток. Наудачу извлекли 7 перчаток. Какова вероятность того, что 3 из них синие, а 4 – чёрные?

12.В коробке 12 мячиков, из которых 3 красных, 5 зелёных и 4 жёлтых. Наудачу взяли 3 мячика. Какова вероятность того, что все три мячика разного цвета?

13.В партии из 12 шкафов при транспортировке 4 получили повреждение. Наудачу выбрано 6 шкафов. Вычислить вероятность того, что 2 шкафа из них имеют повреждения.

14.В клуб принесли в корзине 9 рыжих и 11 серых котят. Наугад вынимают двух котят. Какова вероятность того, что они разного цвета?

15.С блюда с 30 пирожками взяли наугад 3. Какова вероятность того, что хоть один пирожок окажется с грибами, если их на блюде лежало шесть.

16.Молодой человек забыл номер своего приятеля, но помнит из него первые 4 цифры. В телефонном номере 7 цифр. Какова вероятность, что молодой человек дозвонится до своего приятеля, если наберёт номер случайным образом?

17.Сейфовый замок имеет 4 диска с пятью секторами, на каждом из которых записана одна из цифр от 0 до 4. Какова вероятность открыть замок сейфа, набрав 4 цифры наугад?

18.Владелец лотерейной карточки зачёркивает 6 номеров из 49. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

19.В группе 16 юношей и 14 девушек. Выбирают делегацию из 5 человек. Какова вероятность того, что при случайном выборе в состав делегации попадут 3 девушки и два юноши?

20.В мешке лежат 25 красных, 19 синих и 16 зелёных шарфов, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 9 шарфов. Вычислить вероятность того, что взяли 4 красных, 3 синих и 2 зелёных шарфа.

21.Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются наугад сразу три карты. Найти вероятность того, что этими картами будут: а) тройка, семёрка, дама; б) тройка, семёрка, туз; в) три туза?

22.Трёх стюардесс для рейса выбирают по жребию из 25 девушек, среди которых 5 блондинок, 15 шатенок и 5 брюнеток. Какова вероятность того, что среди выбранных девушек все будут иметь разный цвет волос?

23.В ящике лежат 15 игрушек, среди которых 4 с дефектами. Найти вероятность того, что среди 7 наудачу вынутых игрушек одна окажется с дефектом.

24.Среди 17 желающих поехать на модный курорт 10 женщин. Определить вероятность того, что среди 12 случайным образом купивших путёвки оказались 7 женщин?

25.В непрозрачной шкатулке лежат 7 белых, 6 красных и 9 чёрных бусин. Мастерица берет 5 бусин наугад. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 чёрных и 1 красная бусины?

26.Из партии, состоящей из 22 пар ботинок, для проверки отбирают 6 пар. Партия содержит 3 бракованные пары. Какова вероятность того, что в число отобранных ботинок войдёт не более одной бракованной пары?

27.На прилавке лежат 15 дынь, среди которых 3 нестандартные. Найти вероятность того, что среди четырёх отобранных продавцом дынь будет хотя бы одна нестандартная?

28.Кодовый замок содержит 5 цифр, которыми могут быть числа от 0 до 9. Замок открывается при наборе только одной единственной комбинации из пяти цифр. Какова вероятность открыть этот замок, набрав случайным образом 5 цифр?

29.К празднику в фирме формируют наборы из 45 шейных платков, 30 булавок для галстука и 25 дезодорантов. Менеджеру нравится только по одному предмету из всего предложенного ассортимента − один платок, одна булавка и один дезодорант. Какова вероятность того, что случайным образом составленный набор будет содержать все три предмета, понравившиеся менеджеру?

30.Из 5 лётчиков, 7 штурманов и 5 стюардесс необходимо сформировать экипаж, в который должны войти 2 лётчика, 1 штурман и 3 стюардессы. Какова вероятность выбора одного конкретного экипажа?

Задачи по вариантам

Номер варианта	Номер задачи

Лабораторная работа № 3.

Повторные независимые испытания

Пусть производится несколько испытаний, в каждом из которых может появиться событие A. Если вероятность события A в каждом испытании не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие A с вероятностью P (A) = p. Вероятность того, что событие A не наступит, для каждого испытания равна

P(A) = 1 − p = q.

Вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз (), вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли:

Если требуется вычислить вероятность того, событие А наступит не менее k₀ раз в n испытаниях, то используют формулу сложения вероятностей:

Формула Бернулли представляется функцией БИНОМРАСП(k, n, p, ЛОЖЬ), где k – количество появления события, n – число независимых испытаний; p – вероятность появления события; "ЛОЖЬ" – указание на то, что определяется вероятность появления ровно k событий. В случае, когда последний аргумент функции равен "ИСТИНА", функция возвращает вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз.

Если нужно вычислить вероятность того, что событие наступит менее k₀ раз или не более k₀ раз, то используют противоположную вероятность:

или

Пример. В освещении помещения фирмы используются 14 лампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года равна . Какова вероятность того, что в течение года останется исправными: а) половина лампочек; б) не менее половины лампочек.