Зададимся целью придать интерполяционной формуле более простой вид, подобный широко используемой в математическом анализе формулы Тейлора.
Такая структура интерполяционного многочлена позволила бы более просто перестраивать его степень, добавляя или отбрасывая удаленные от начала его записи члены.
Будем считать, что интерполируемая функция y=f(x) задана своими значениями y0, y1,…, yn на системе равноотстоящих узлов
x0, x1, …, xn, т.е. таких, что любой узел этой сетки можно представит в виде
xi=x0+ih,
где i=0, 1,…,n, а h>0 - некоторая постоянная величина, называемая шагом сетки.
Прежде чем строить желаемые интерполяционные формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.
Конечная разность 1- го порядка есть разность между значениями функции:
Конечная разность 2 – го порядка
Этот процесс построения разностей может быть продолжен, и описывается рекуррентной формулой, выражающей конечную разность
k - го порядка через разности (k-1) порядка:
k=1, 2,…,, n
Конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции (последние можно интерпретировать как конечные разности нулевого порядка). Эту общую таблицу называют таблицей конечных разностей.
|
|
x0 | y0 | Dy0 | D2y0 | D3y0 | D4y0 | . |
x1 | y1 | Dy1 | D2y1 | D3y1 | D4y1 | . |
x2 | y2 | Dy2 | D2y2 | D3y2 | ||
x3 | y3 | Dy3 | D2y3 | |||
x4 | y4 | Dy4 | ||||
x5 | y5 | |||||
. | . |
Будем строить интерполяционный многочлен Pn(x) в форме:
(2)
Его n+1 коэффициент будем находить последовательно из n+1 интерполяционных равенств
,а именно, полагая i=0, т.е.
Имеем , а по условию интерполяции , следовательно,
Далее, при i=1, аналогично получаем равенство
,
в которое подставляем уже найденное значение .
Разрешая это равенство относительно, и используя обозначение конечной разности, получаем
Следующий шаг, при i=2, дает
Полной индукцией можно доказать справедливость выражения
(3)
Подставляя найденные коэффициенты в (2), получаем многочлен
(4)
который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона..
Учитывая, что каждое слагаемое многочлена, начиная со второго, содержит множитель , естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла
(при , близких к , ).
Будем называть узел базовым для многочлена (4), и упростим (4) введением новой переменной равенством , или (что - то же) равенством .
Так как при любых
то в результате подстановки этих разностей в (4) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде
(5)
где обозначение указывает не только на n – ю степень многочлена, но и на базовый узел и связь переменных и .
|
|
Первая формула Ньютона обычно применяется при значениях , а именно, для интерполирования вперед, (при ,
т. е. при ) и экстраполирования назад (при ,
т.е. при ).
Для интерполирования в конце таблицы форма интерполяционного многочлена берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т. д., т. е.
(6)
Коэффициенты этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (2), только здесь подстановка узловых точек вместо и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.
Полагая , имеем:
и т. д. В общем случае
Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона
(7)
В котором базовым является узел и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей диагонали от .
Положим в (7) , иначе, введем новую переменную и преобразуем к ней входящие в (7) разности:
В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида
(8)
Ее также целесообразно использовать при значениях , т.е. в окрестности узла для интерполирования назад (при ) и эктраполирования вперед (при ).
Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона, имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы (интерполяционная формула Стирлинга и формула Бесселя).
Теперь о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечно – разностной интерполяции.
В силу доказанной единственности интерполяционного многочлена Лагранжа, все построенные здесь интерполяционные многочлены Ньютона – это всего лишь различные формы его представления. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена, полученного для многочлена Лагранжа.
где
Для случая равноотстоящих узлов многочлен преобразуется к новой переменной следующим образом:
Отсюда
Итак, для ,. конечно - разностная интерполяционная формула Ньютона степениn с базовым узлом может быть записана в виде
, в котором - некоторая неизвестная, но фиксированная (при фиксированном ) точка интервала .
Аналогично, при выборе базового узла , т. е. для второй интерполяционной формулы Ньютона, получаем точное представление
, где
В силу связи (формула (1)) между производными и конечными разностями, выражение для (n+1) – ой производной
приближенно можно заменить на величину
.
В этом случае степень n интерполяционного многочлена должна быть заниженной по сравнению с n числом узлов (иначе конечная разность (n+1) – го порядка равна нулю).