1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.
2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.
Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора
и
принадлежат сумме
, т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:
Найдем сумму:. Так как , а
, то
. Следовательно, множество
замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение:. Так как
, a
, то
. Следовательно, множество
замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом,
— линейное подпространство.
3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении
— можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства
, называется пересечение всех подпространств
, содержащих
, т.е.
. Если
, то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством
, поскольку оно содержится в любом из подпространств
. Если
— линейное подпространство
, то указанное пересечение совпадает с
, поскольку
содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них:
).
|
|
Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества
конечномерного линейного пространства
является минимальным линейным подпространством, содержащим
, т.е.
.
Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств:
. Так как
(см. пункт 6 замечаний 8.7), то
. Докажем включение
. Произвольный элемент
имеет вид
, где
. Пусть
— любое подпространство, содержащее
. Оно содержит все векторы
и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор
. Поэтому вектор
принадлежит любому подпространству
, содержащему
. Значит,
принадлежит пересечению
таких подпространств. Таким образом,
. Из двух включений
и
следует равенство
.
5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах
конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
6. Можно определить объединение подпространств
и
как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству
или пространству
(или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии
или
).
|
|
7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения
. Действительно, включение
следует из определения. Любой элемент множества
имеет вид
, т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества
. Докажем противоположное включение
. Любой элемент
имеет вид
, где
. Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые
, у которых
. Остальные слагаемые составят вторую сумму:
Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор
. Следовательно,
. Значит,
. Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.
Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и
подпространства конечномерного линейного пространства
, то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):
(8.13) |
В самом деле, пусть — базис пересечения
. Дополним его упорядоченным набором
векторов до базиса
подпространства
и упорядоченным набором
векторов до базиса
подпространства
. Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор
векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства
. Действительно, любой вектор
этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора
Следовательно, . Докажем, что образующие
линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства
. Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:
(8.14) |
Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из
, последнюю сумму обозначим
— это некоторый вектор из
. Равенство (8.14):
означает, что вектор
принадлежит также и пространству
. Значит,
. Раскладывая этот вектор по базису
, находим
. Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем
Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства
. Все коэффициенты такого разложения нулевые:
и
. Подставляя
в (8.14), получаем. Это возможно только в тривиальном случае
и
, так как система векторов
линейно независима (это базис подпространства
). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов
линейно независима, т.е. является базисом пространства
. Подсчитаем размерность суммы подпространств:
что и требовалось доказать.
Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке
заданы подпространства:
и
— три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке
прямым
и
соответственно;
и
— два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям
и
соответственно; прямая
, при надлежит плоскости
, прямая
принадлежит плоскости
, плоскости
и
пересекаются по прямой
(рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.
Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих
и
соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости
. На оборот, любой вектор
(см. рис.8.2), принадлежащий
, можно представить в виде
, построив проекции
и
вектора
на прямые
и
соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости
раскладывается по подпространствам
и
, т.е.
. Аналогично получаем, что
, а
— множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые
и
.
Найдем сумму . Любой вектор
пространства
можно разложить по подпространствам
и
. В самом деле, через конец радиус-вектора
проводим прямую, параллельную прямой
(см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию
вектора
на плоскость
. Затем на
откладываем вектор
так, чтобы
. Следовательно,
. Так как
, то
. Аналогично получаем, что
. Остальные суммы находятся просто:
. Заметим, что
.
|
|
Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя
и
в формулу Грассмана, получаем
, что и следовало ожидать, так как
.
Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:
где — нулевой радиус-вектор
.
47. Пряма сума підпросторів. Критерії прямої суми.