Доказательство. Докажем возможность представления

Докажем возможность представления:

Пусть nÎN и n>1, если n – простое число, то n = p и теорема доказана. Если n – составное, то наименьший его делитель будет числом простым и n = p₁n₁, где n₁<n.

Далее рассуждаем аналогично. Если n₁ простое число, то теорема доказана, если n₁ составное число, то n₁ = p₂n₂, где n₂ < n₁ и тогда n = p₁p₂n₂. На каком-то шаге получим n = p₁p₂ …p_n, где все p_i - простые числа.

Докажем единственность разложения:

Предположим, что для числа (n) есть два различных представления: n = p₁p₂ …p_k, n = q₁q₂ …q_n и n>k.

Тогда получим, что p₁p₂ …p_k = q₁q₂ …q_n (1). Левая часть равенства (1) делится на p₁, тогда по свойству простых чисел (см. задача 2), по крайней мере, один из сомножителей правой части должен делиться на p₁.

Пусть (q₁/p₁) => (q₁=p₁). Разделив обе части равенства (1) на p₁, получим равенство p₂p₃ …p_k = q₂q₃ …q_n. Повторяя прежнее рассуждение ещё (k-1) раз, мы получим равенство 1 = q_k+1q_k+2 …q_n, т.к. все q_i >1, то это равенство невозможно. Следовательно, в обеих разложениях число сомножителей одинаково (k=n) и сами сомножители одинаковы.

Замечание. В разложении числа (n) на простые сомножители некоторые из них могут повторяться. Обозначая буквами a₁,a₂,…,a_k кратность их вхождения в (n), получим так называемое каноническое разложение числа (n):