Общие требования, предъявляемые к оценкам

Чтобы правильно и точно оценить параметры модели, оценки должны быть: несмещенными, состоятельными, эффективными и достаточными.

Оценки b являются несмещенными, если их математические ожидания равны истинным значениям параметров:

M[b]=b.

Это значит, что в процессе вычисления параметров модели не должны возникать статистические ошибки.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений n до бесконечности она сходится по вероятности к истинному параметру:

Достаточное условие для этого

Оценки будут эффективными, если они позволяют получить максимальную информацию из наблюдений. Часто бывает, что из исследуемого параметра можно найти несколько состоятельных оценок. Чтобы выбрать одну из них сравнивают дисперсии всех оценок и по минимуму дисперсии получают оценку, которая и будет эффективной

,

где D[b] - дисперсия оценки b, - дисперсия любых других несмещенных оценок b.

Пример. Дано n наблюдений случайной величины X. Возникает вопрос, какую величину принять за оценку математического ожидания: среднее выборки или медиану. Известно, что величина X распределена по нормальному закону с дисперсиями: и ,

где - среднее выборки; - медиана; n - объём выборки; - дисперсия генеральной совокупности X. Так как , то оценка средней выборки будет эффективной.

Критерии несмещенности и эффективности следует рассматривать одновременно. Может оказаться, что смещенная оценка с меньшей дисперсией будет более предпочтительной, чем несмещенная оценка с большей дисперсией.