Приближение функций

Постановка задачи о приближении функций.

Пусть на некотором множестве задана система функций φ₀(х), φ₁(х),…, φ_m(x)… Потребуем, чтобы функции были гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми). Данная система функций называется основной, тогда многочлен

Q_m(x)=c₀φ₀(x)+c₁φ₁(x)+ +c_mφ_m(x), (3.1)

где с₀, с₁,…, с_m – неизвестные постоянные коэффициенты, называется обобщенным многочленом порядка m.

Например, если основная система имеет вид φ₀(х)=1, φ₁(х)=х,…,φ_m(x)=x^m, то Q_m(x)=c₀+c₁x+…+c_mx^m представляет алгебраический многочлен степени m.

Если φ₀(х)=1, φ₁(х)=cos(x), φ₂(x)=sin(x),…, φ_2m-1(x)=cosmx, φ_2m(x)=sinmx,…, то

Q_m(x)=a₀+a₁cosx+b₁sinx+…+a_mcosmx+b_xsinmx (3.2)

называется тригонометрическим многочленом порядка m.

Задача о приближении функции: дана функция f(x), требуется заменить f(x) обобщенным многочленом Q_m(x) данного порядка m так, чтобы отклонение функции f(x) от обобщенного многочлена Q_m(x) на указанном множестве X={x} было наименьшим. При этом Q_m(x) в общем случае называется аппроксимирующим.

Если множество Х состоит из отдельных точек х₀, х₁,…, х_n, то приближение называется точечным. Если же Х есть отрезок a≤x≤b, то приближение называется интегральным.

В зависимости от критерия приближения функций f(x) и Q_m(x) рассматривают задачи: интерполирование функции, среднеквадратичное приближение, сплайн-интерполяция и т. д.

Интерполирование функции