Производственная функция в долгосрочном периоде

Долгосрочным периодом производства называется такой период времени, в течение которого изменяется количество всех используемых в производственном процессе факторов производства. Таким образом, в долгосрочном периоде нет постоянных факторов производства; все факторы производства являются переменными⁶⁰. В долгосрочном периоде применяется двухфакторная производственная функция с двумя переменными факторами труда и капитала. Она показывает существование альтернативных возможностей, при которых различное сочетание факторов производства обеспечивает один и тот же объем производства. На вид производственной функции непосредственно влияет вид технологии.

Линейная функция описывает технологию, характеризующуюся тем, что факторы производства, использующиеся в производственном процессе, являются абсолютно взаимозаменяемыми, т.е. всё равно, использовать только труд или только капитал. Линейная производственная функция имеет вид

где a и в - коэффициенты, отношение которых друг к другу показывает пропорцию замещения одним фактором другого.

Для характеристики замещения одного фактора другим используют показатель предельной нормы технического замещения (MRTS). По этому показателю судят, насколько следует изменить количество одного фактора при единичном изменении другого, чтобы объем производства оставался неизменным. Поскольку происходит замещение одного фактора другим, т.е. количество одного фактора возрастает, а другого убывает, предельная норма замещения имеет отрицательный знак⁶¹:

MRTS = -∆К / ∆L.

Для линейной функции предельный продукт труда равен β, предельный продукт капитала равен α. Тогда для линейной функции MRTS = - β / α.

Функция Леонтьева описывает технологию, при которой ресурсы дополняют друг друга и при этом абсолютно не взаимозаменяемы. B этом случае производственная функция выглядит как f(K, L) = min(K, L), или Q = min(α.K,, β L), где α > 0, β > 0 и характеризуют пропорцию дополнения.

Предельная норма технического замещения в этом случае либо равна нулю (в случае, если MP_L = 0), либо не определена (когда МР_К = 0).

Наиболее известным и часто встречающимся примером производственной функции является функция Кобба-Дугласа (мультипликативно-степенная), которая используется, если факторы производства являются одновременно и дополнителями и до определенной степени заменителями друг друга:

Q = k • K^α • L^β,

где Q - максимальный объем выпуска продукта при заданных факторах производства; K, L - соответственно затраты капитала и труда; k - коэффициент, отражающий уровень технологии данного производства (чем выше технологии, тем выше k); α, β - показатели эластичности объема производства, соответственно по капиталу и труду; α - отражает приращение Q на 1 % увеличения K при L - постоянном (эластичность выпуска по затратам капитала); β - изменение Q на 1% увеличения L при постоянном K (эластичность выпуска по труду)⁶².

Предельная норма технического замещения для функции данного вида определяется по формуле

MRTS = -βK / (αL).

Описываемые соотношения носят статистический характер, т.е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых.

В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции: с постоянной эластичностью замены (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES - Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже). При необходимости описать производственные процессы, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска, можно применить производственную функцию Аллена. В случае, когда предположение об однородности функциональной зависимости представляется неоправданным, рекомендуется применять функцию Солоу. Приведенное выше описание функциональных зависимостей представляет обзор основных, наиболее часто упоминаемых в научной литературе моделей.