Пусть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а - единичный вектор, направленный по внешней нормали. Потоком векторного поля (например, ) называют поверхностный интеграл вида
(1.10)
Рис. 1.1
Изменение массы объема происходит за счет вытекания(втекания)
jdS
Изменение массы можно выразить через изменение объема
r
Изменение массы в объеме эквивалентно потоку жидкости, покидающему объем через поверхность, ограничивающую объем
Интегральный баланс имеет вид
(1)
рассмотрим баланс для элемента объема
dv = dxdydz
–элементарный объем
Определим суммарный поток через поверхность как сумму элементарных потоков
Изменение потока вектора а в направлении оси абсцисс
dI = - axdydz + ax+dxdydz
Используем разложение в ряд Тейлора для компоненты вектора а для правой плоскости
подставляя это разложение, получим для изменения потока
Аналогично для других плоскостей
3)
=
- Теорема Остроградского – Гаусса: