Задачи с решениями. Задача 10.1.Отделом технического контроля качества продукции произведен выбор 200 деталей для измерения отклонений их действительного диаметра от

Задача 10.1. Отделом технического контроля качества продукции произведен выбор 200 деталей для измерения отклонений их действительного диаметра от планируемого. Данные измерений приведены в табл. 10.1.

Таблица 10.1

[ ai ; ai +1)	mi
[–20; –15)
[–15; –10)
[–10; –5)
[–5; 0)
[0; 5)
[5; 10)
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)

Оценить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Перейдем от интервального статистического ряда к статистическому ряду, заменив каждый промежуток [ a_i ; a_{i +1}) его средним значением . Получаем табл. 10.2.

По табл. 10.2 вычислим математическое ожидание , дисперсию D_в и среднее квадратическое отклонение σ _в:

Таблица 10.2

	mi
-17,5
-12,5
-7,5
-2,5
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5

По табл. 10.2 вычислим математическое ожидание , дисперсию D_в и среднее квадратическое отклонение σ _в:

=

=

+ = ;

D_в =

=

+ = ;

σ _{в .}= =9,71.

3) Дальнейшие вычисления выполним по алгоритму критерия согласия Пирсона и оформим их в виде табл. 10.3, причем x ₁= – ∞, x ₉= +∞.

Таблица 10.3

№	x i	mi	mi 2	pi	mi теор= =200 · pi
	-17,5			0,0233	4,66	10,52
	-12,5			0,0475	9,5	12,74
	-7,5			0,0977	19,54	11,52
	-2,5			0,1615	32,3	17,83
	2,5			0,1979	39,58	60,66
	7,5			0,1945	38,9	43,22
	12,5			0,1419	28,38	23,82
	17,5			0,0831	16,62	17,39
	27,5			0,0526	10,52	9,51
∑						207,21

Следовательно, находим χ ²_набл = 207,21 – 200 = 7,21.

Из табл. П 2.5 (приложение 2) с учетом значений α = 0,05 k = l – 3 = 6 находим: χ ²_набл =12,6.

Так как 7,21 < 12,6, т.е. χ ²_набл < χ ²_крит, то нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Ответ: принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задача 10.2. В результате контрольных испытаний из генеральной совокупности взята выборка объема n= 200:

Таблица 10.4

x i
mi

Оценить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,01.

Решение. 1) По табл. 10.4 вычислим выборочные математическое ожидание , дисперсию D_в и среднее квадратическое отклонение σ _в:

=

=

;

D_в =

=

;

σ _{в .}= =4,51.

2) Дальнейшие вычисления выполним по алгоритму критерия согласия Пирсона и оформим их в виде табл. 10.5.

Таблица 10.5

№	x i	mi	mi 2	pi	mi теор = =200 · pi
				0,0446	8,92	28,70
				0,0592	11,84	48,65
				0,1023	20,46	38,32
				0,1496	29,92	34,23
				0,1722	34,44	18,15
				0,1671	33,42	17,24
				0,1339	26,78	14,94
				0,0903	18,06	17,94
				0,0808	16,16	13,92
∑						232,09

Следовательно, находим: χ ²_набл =232,09 – 200 = 32,09.

Из табл. 10.5 (приложение 2) с учетом значений α = 0,01 k = l – 3 = 6 находим: χ ²_крит =16,8. Так как 32,09 >16,8, то χ ²_набл > χ ²_крит. Следовательно, отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Ответ: отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задача 10.3. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами m_i и теоретическими частотами m_{i теор} ,которые вычислены, исходя их гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности:

mi
mi теор

Решение. 1) Найдем χ ²_набл:

χ ²_набл = =

=

Из табл. 10.5 (приложение 2) с учетом значений α = 0,05 k = 8– 3 = 5 находим: χ ²_крит =11,1.

Так как 7,54 < 11,1 то χ ²_набл < χ ²_крит . Следовательно, нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Ответ: расхождение случайное.

Задачи

10.1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами m_i и теоретическими частотами m_{i теор} ,которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности:

а)

mi
mi теор

б)

mi
mi теор

в)

mi
mi теор

10.2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по ее выборке объема n = 200:

№	x i	mi
	1,2
	1,4
	1,6
	1,8
	2,0
	2,2
	2,4
	2,6
	2,8
	3,0
	3,2

10.3. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по ее выборке объема n =150, собранной в интервальный статистический ряд:

[ ai ; ai +1)	mi
[0; 4)
[4; 8)
[8; 12)
[12; 16)
[16; 20)
[20; 24)
[24; 28)
[28; 32]

10.4. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по ее выборке:

10.5. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по ее выборке:

Ответы

10.1. а) Расхождение частот случайное (χ ²_набл = 2,07; χ ²_крит = 6);

б) Расхождение частот случайное (χ ²_набл = 8,23; χ ²_крит = 11,1);

в) Расхождение частот значимое (χ ²_набл = 20,26; χ ²_крит = 9,5).

10.2. Гипотеза о нормальном распределении принимается

(χ ²_набл = 7,71; χ ²_крит = 15,5).

10.3. Гипотеза о нормальном распределении принимается

(χ ²_набл = 8,065; χ ²_крит = 15,1).

10.4. Гипотеза о нормальном распределении отвергается

(χ ²_набл = 15,97; χ ²_крит = 7,8).

10.5. Гипотеза о нормальном распределении отвергается

(χ ²_набл = 15,46; χ ²_крит = 13,3).